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第一章集合与函数概念第一课时并集、交集及其应用1.1.3集合的基本运算学习目标：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)[自主预习·探新知]1．并集思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？属于集合A或属于集合BA∪B{x|x∈A或x∈B}[提示](1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但xB；x∈B，但xA；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．2．交集属于集合A且属于集合BA∩B{x|x∈A且x∈B}3．并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪∅＝AA∩∅＝∅AAA∅[基础自测]1．思考辨析(1)两个集合的并集中元素的个数一定多于这两个集合中元素个数之和．()(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．()(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．()[答案](1)×(2)×(3)√2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________，M∩N＝________.{－1,0,1,2}{0,1}[∵M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，∴M∩N＝{0,1}，M∪N＝{－1,0,1,2}．]3．若集合A＝{x|－3x4}，B＝{x|x2}，则A∪B＝________.{x|x－3}[如图：故A∪B＝{x|x－3}．][合作探究·攻重难]例1(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}并集概念及应用(2)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|x－5或x5}，则M∪N＝()A．{x|x－5或x－3}B．{x|－5x5}C．{x|－3x5}D．{x|x－3或x5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x－5或x－3}．][规律方法]求集合并集的两种基本方法1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.[跟踪训练]1．设S＝{x|x－1或x5}，T＝{x|axa＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足()A．－3a－1B．－3≤a≤－1C．a≤－3或a－1D．a－3或a－1A[在数轴上表示集合S，T如图所示．因为S∪T＝R，由数轴可得a－1a＋85，解得－3a－1.故选A.]例2(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3D．2交集概念及其应用(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}．如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故选D.][规律方法]1.求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：1定义法，2数形结合法.2.若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.[跟踪训练]2．（2018·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2}B．{1,2}C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]3．设集合A＝{x|－1≤x2}，B＝{x|xa}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1a≤2B．a2C．a≥－1D．a－1D[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a－1.][探究问题]1．设A、B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？集合交、并运算的性质及综合应用提示：A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B.2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？提示：若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.例3已知集合A＝{x|－3x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．思路探究：A∪B＝A――――→等价转化B⊆A――――――→分B＝∅和B≠∅建立k的不等关系――→求交集得k的范围[解](1)当B＝∅，即k＋12k－1时，k2，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需－3k＋14≥2k－1k＋1≤2k－1，解得2≤k≤52.综合(1)(2)可知k≤52.母题探究：1.把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．[解]由A∩B＝A可知A⊆B.所以－3≥k＋12k－1≥4，即k≤－4k≥52，所以k∈∅.所以k的取值范围为∅.2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3x≤5}”，求k的值．[解]由题意可知－3k＋1≤42k－1＝5，解得k＝3.所以k的值为3.[解]由A∩B＝A可知A⊆B.所以－3≥k＋12k－1≥4，即k≤－4k≥52，所以k∈∅.所以k的取值范围为∅.[解]由题意可知－3k＋1≤42k－1＝5，解得k＝3.所以k的值为3.[当堂达标·固双基]1．（2019•河南模拟）已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x-2≤0}，那么P∪Q等于（）A．∅B．{1}C．{x|-2≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}【解答】解：∵集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1}，∴P∪Q={x|-2≤x≤2}．故选：C．2．（2019春•武昌区期末）已如集合A={x|x-2＞0}，B={||x|≤3}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．[2，3]【解答】解：A={x|x＞2}，B={x|-3≤x≤3}；∴A∩B=（2，3]．故选：A．3．（2019•上城区校级模拟）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}C={3，4，5}，则（A∪B）∩（B∪C）=（）A．{1，2，3}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{3}【解答】解：A∪B={1，2，3，4}，B∪C={2，3，4，5}，∴（A∪B）∩（B∪C）={2，3，4}．故选：B．4．（2019•朝阳区一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．5B．6C．7D．8【解答】设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）=14，n（B）=10，n（C）=8，n（A∪B∪C）=20，因为n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8-20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤（14+10+8−20）÷2=6．故选：B．5．（2019春•杭州期末）已知集合A={x|a-4＜x＜a+4}，B={x|x＞5或x＜-1}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，A={x|-3＜x＜5}；∴A∩B=（-3，-1）；（2）∵A∪B=R；∴a−4＜−1，a+4＞5；解得1＜a＜3；∴实数a的取值范围为（1，3）．