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第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系学习目标：1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义．(难点)[自主预习·探新知]1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．封闭曲线内部2．子集、真子集、集合相等的相关概念A=BA⊆B都是B⊆AA≠BABBA思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．思考2：{0}与∅相同吗？[提示]不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.任何∅空集4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC.(3)若A⊆B，A≠B，则AB.[基础自测]1．思考辨析(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.()(4)空集是任何集合的真子集．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．下列四个集合中，是空集的为()A．{0}B．{x|x8，且x5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x4}B[满足x8且x5的实数不存在，故{x|x8，且x5}＝∅.]3．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有()A．M⊆NB．M∈NC．N⊆MD．M＝NC[正方形是特殊的菱形，故N⊆M.]4．集合{0,1}的子集有________个．4[集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．][合作探究·攻重难]例1判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}．(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．(3)M＝xx＝n2，n∈Z，N＝xx＝12＋n，n∈Z.集合间关系的判断[解](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.(3)对于集合M，其组成元素是n2，分子部分表示所有的整数；而对于集合N，其组成元素是12＋n＝2n＋12，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，NM.[规律方法]判断集合关系的方法1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系.[跟踪训练]1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]2．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.]例2已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．子集、真子集的个数问题[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．[规律方法]确定子集、真子集的三个关键点有限集子集的确定问题，求解关键有三点：1确定所求集合；2合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；3注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.[跟踪训练]3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集.[解]∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．[探究问题]1．若A＝{x|x1}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a满足什么条件？若B⊆A呢？由集合间的关系求参数提示：如图(1)，若A⊆B，则a≤1；如图(2)，若B⊆A，则a1.2．若集合A＝{x|1xb}，试结合b的取值，指出A集合中的元素．提示：当b≤1时，A＝∅；当b1时，A中的元素是由满足不等式1xb的实数组成的．例3已知集合A＝|x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.思路探究：B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}――――――→分B＝∅和B≠∅结合数轴列不等式组―→求m的取值范围[解](1)当B≠∅时，如图所示．∴m＋1≥－2，2m－15，2m－1≥m＋1或m＋1－2，2m－1≤5，2m－1≥m＋1，解这两个不等式组，得2≤m≤3.(2)当B＝∅时，由m＋12m－1，得m2.综上可得，m的取值范围是m≤3.母题探究：1.若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2x5}”，其他条件不变，求m的取值范围．[解](1)当B＝∅时，由m＋12m－1，得m2.(2)当B≠∅时，如图所示∴m＋1－22m－15m＋1≤2m－1，解得m－3m3m≥2，即2≤m3，综上可得，m的取值范围是m3.[解](1)当B＝∅时，由m＋12m－1，得m2.(2)当B≠∅时，如图所示∴m＋1－22m－15m＋1≤2m－1，解得m－3m3m≥2，即2≤m3，综上可得，m的取值范围是m3.2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．[解]当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.∴2m－1m＋1，m＋1≤－2，2m－1≥5，即m2，m≤－3，m≥3，∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.[解]当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.∴2m－1m＋1，m＋1≤－2，2m－1≥5，即m2，m≤－3，m≥3，∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.[规律方法]1．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．2．数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．[当堂达标·固双基]1．（2019春•和平区校级月考）已知集合M={x|（x-1）（x-2）≤0}，N={x|x＞0}，则（）A．N⊆MB．M⊆NC．M∩N=∅D．M∪N=R【解答】解：已知集合M={x|（x-1）（x-2）≤0}={x|1≤x≤2}，N={x|x＞0}，则由集合的运算和集合的关系可得：M⊆N，B正确；故选：B．2．（2019•浙江模拟）集合{2，0，1，9}的真子集的个数是（）A．13B．14C．15D．16【解答】解：{2，0，1，9}的真子集个数为：24−1＝15．故选：C．3．（2019•辽宁一模）若集合A={x|1≤x＜2}是集合B={x|x＞b}的子集，则实数b的范围是（）A．b≥2B．1＜b≤2C．b≤2D．b＜1【解答】解：由题意得A⊆B，则b＜1，故选：D．4．（2019春•黄冈期末）已知数集{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且有下列说法①a=1，②c＞2；③d≠4，则满足（a，b，c，d）的数值有____组【解答】解：a=1，c＞2，d≠4；∴a=1，c=3，d=2，b=4或a=1，c=4，d=2，b=3或a=1，c=4，d=3，b=2；∴满足（a，b，c，d）的数值有3组．故答案为：3．5．（2018秋•晋中期末）设集合A={x|a-1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2-2x-8＜0的解集为B．（1）当a=0时，求集合A，B；（2）当A⊆B时，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，A={x|-1＜x＜0}，解不等式x2-2x-8＜0得：-2＜x＜4，即B={x|-2＜x＜4}，（2）若A⊆B，则有：①A=∅，即2a≤a-1，即a≤-1，符合题意，②A≠∅，有2a＞a-1,a-1≥-2,2a≤4，解得：-1＜a≤2，综合①②得：a≤2，