搜索
第一章集合与函数概念第一课时集合的含义1.1.1集合的含义与表示学习目标：1、通过实例了解集合的含义．(难点)2.掌握集合中元素的三个特性．(重点)3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．研究对象a，b，c…元素集A，B，C…一样确定性互异性无序性思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？[提示](1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作______.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号____________Z___Ra属于集合Aa∈Aa不属于集合AaA整数集实数集NN*或N＋Q[基础自测]1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()[答案](1)×(2)√(3)×2．用“book中的字母”构成的集合中元素个数为()A．1B．2C．3D．4C[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“o”、“k”三个元素．][答案]∈∈4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.3[由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]3．用“∈”或“”填空：_______N；－3________Z；________Q；0________N*；________R.2125[合作探究·攻重难]例1、考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2016年第31届奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④|类型一|集合的基本概念B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.][规律方法]判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.[跟踪训练]1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合．(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合．(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．[解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确．“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．例2(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②2Q；③0∈N*；④|－5|N*.A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2B．2或4C．4D．0元素与集合的关系(1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.][规律方法]判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征.[跟踪训练]2．已知集合A中元素满足2x＋a0，a∈R，若1A,2∈A，则()A．a－4B．a≤－2C．－4a－2D．－4a≤－2D[由题意可知2×1＋a≤0，2×2＋a0，解得－4a≤－2.][探究问题]1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？提示：a≠b2．若1∈A，则元素1与集合中的元素a，b存在怎样的关系？提示：a＝1或b＝1.集合中元素的特性及应用例3已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．思路探究：A中含有元素：1和a2――→a∈Aa＝1或a2＝a―――→求a的值检验集合中元素的互异性[解]由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.母题探究：1.(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[解]由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.[规律方法]1.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.2.本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分.提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形.[当堂达标·固双基]1．（2018秋•嘉定区期末）德国数学家希尔伯特说：“谁也不把我们从为我们创造的花园中赶走”，赞赏在1871年提出了集合论的某位数学家（划线部分所示），请问是下列哪位数学家（）A．德．摩根B．高斯C．欧拉D．康托尔【解答】解：提出了集合论的数学家是康托尔，故选：D．[当堂达标·固双基]2．（2017秋•重庆期中）集合M={（1，2），（2，1）}中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据题意，集合M={（1，2），（2，1）}中元素为（1，2）和（2，1），共2个元素，故选：B．[当堂达标·固双基]3．（2018秋•兴庆区校级期末）下面给出的四类对象中，能组成集合的是（）A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【解答】解：选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．[当堂达标·固双基]4．（2018秋•玉山县校级月考）下列给出的命题正确的是（）A．高中数学课本中的难题可以构成集合B．有理数集Q是最大的数集C．空集是任何非空集合的真子集D．自然数集N中最小的数是1【解答】解：A、难题不具有确定性，不能构造集合，故本选项错误；B、实数集R就比有理数集Q大，故本选项错误；C、空集是任何非空集合的真子集，故本选项正确；D、自然数集N中最小的数是0，故本选项错误；故选：C．5．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.