（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题一 函数与导数 第1讲 函数的图象

第1讲函数的图象与性质第二编讲专题专题一函数与导数「考情研析」1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题．2.求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填的形式出现.1核心知识回顾PARTONE1.函数的单调性单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．□01fx1－fx2x1－x2□02fx1－fx2x1－x22．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有成立，则f(x)为奇函数(都有成立，则f(x)为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．□01f(－x)＝－f(x)□02f(－x)＝f(x)□03f(x)3．关于函数的周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，是它的一个周期．②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期．③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期．□012a□022a□034a(2)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线对称．②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点对称．③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线对称．□04x＝a□05(a,0)□06x＝a＋b24．函数与方程(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，判定函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.□01f(x0)＝02热点考向探究PARTTWO考向1函数的性质例1(1)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，则()A．f(1)＞f(3)＞f(－1)B．f(1)＞f(－1)＞f(3)C．f(3)＝f(1)＞f(－1)D．f(0)＞f(3)＞f(－1)答案C解析∵f(x＋2)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f(1)，而函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)＝f(3)．(2)(2019·鞍山一中高三三模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝()A．－2B．－1C．0D．1解析由题意，奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，f(2019)＝f(504×5－1)＝f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝0－1＝－1，故选B.答案B(3)(2019·永州市高三摸底考试)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x(x∈R)，则不等式f(1＋x)＋f(1－x2)≥0的解集是()A．[－1,2]B．[－2,1]C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案A解析因为函数f(x)＝ex－e－x－2x(x∈R)，所以f(－x)＝e－x－ex＋2x＝－f(x)，因此函数f(x)为奇函数，所以f(1＋x)＋f(1－x2)≥0化为f(1＋x)≥f(x2－1)，又f′(x)＝ex＋e－x－2≥0在R上恒成立，因此函数f(x)＝ex－e－x－2x在R上为增函数，所以1＋x≥x2－1，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故选A.(1)函数奇偶性的判断主要是根据定义，涉及奇偶性与单调性相结合的问题应明确奇、偶函数的单调性特征，将所研究的问题转化为同一个单调区间，涉及偶函数的单调性应注意f(x)＝f(－x)＝f(|x|)的应用．(2)含参数奇、偶函数问题，应根据奇偶函数的定义列出关于参数的方程，而对原点处有定义的奇函数，可直接用f(0)＝0列式求参数．1．(2019·永州市高三第三次模拟)已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2019)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析因为f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，又x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，因此f(2019)＝f(1)＝log21＋1＝1.故选C.答案C2．奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2018)＋f(2019)＋f(2020)的值为________．解析函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x－2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)，所以f(x)的周期为4，所以f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.答案－13．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)5的解集是________．解析∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．又x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴不等式f(x＋2)5⇒f(|x＋2|)5⇒|x＋2|2－4|x＋2|5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)0⇒|x＋2|－50⇒|x＋2|5⇒－5x＋25⇒－7x3.故解集为(－7，3)．答案(－7,3)考向2函数的图象例2(1)(2019·吕梁市高三模拟)函数f(x)＝|x|·sinx的图象大致是()答案A解析函数f(x)＝|x|sinx为奇函数，图象关于原点中心对称，可排除B，C；又f(π)＝|π|sinπ＝0，故排除D，故选A.(2)(2019·广州市高中毕业班综合测试(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()答案B解析函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选B.知式选图问题的求解方法：根据图象与坐标轴的交点及图象的左、右、上、下分布特征、变化趋势，再结合函数的单调性、奇偶性等性质分析解析式与图象的对应关系，同时要注意特殊点的应用．1.下列四个函数中，图象如图所示的只能是()A．y＝x＋lgxB．y＝x－lgxC．y＝－x＋lgxD．y＝－x－lgx答案B解析特殊值法：当x＝1时，由图象可知y＞0，而C，D中，y＜0，故排除C，D.又当x＝110时，由图象可知y＞0，而A中y＝110＋lg110＝－910＜0，排除A，故选B.2．函数y＝e|x|－x3的大致图象是()解析易知函数y＝e|x|－x3为非奇非偶函数，排除B；当x＜0时，y＞0，排除C；当x＝2时，y＝e2－8＜0，排除D，故选A.答案A考向3函数的零点例3(1)(2019·宣城市高三第二次调研测试)已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)＝2019＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．acdbB．adcbC．cdabD．cabd答案A解析由题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2019＋g(x)，所以g(x)＝0的两个根是a，b，由题意知，f(x)＝0的两根c，d，也就是g(x)＝－2019的两根，画出g(x)(开口向上)以及直线y＝－2019的大致图象，则两函数图象的交点的横坐标就是c，d，g(x)与x轴的交点的横坐标就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b内，由图得，acdb，故选A.(2)函数y＝lgx－sinx在(0，＋∞)上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析画出函数y＝lgx与y＝sinx的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y＝lgx－sinx在(0，＋∞)上有3个零点，故选C.答案C(3)(2019·天津九校联考)已知函数f(x)＝a－x2－4xx＜0，fx－2x≥0，且函数y＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．[－4，＋∞)B．[－8，＋∞)C．[－4,0]D．(0，＋∞)答案A解析方程f(x)－2x＝0⇔f(x)＝2x⇔f(x)－a＝2x－a，所以函数y＝f(x)－2x恰有三个不同的零点等价于y＝f(x)－a与y＝2x－a有三个不同的交点．记g(x)＝f(x)－a＝－x2－4xx＜0，gx－2x≥0，画出函数简图如下，画出函数y＝2x如图中过原点的虚线l，平移l要保证图象有三个交点，向上最多平移到l′位置，向下平移一直会有三个交点，所以－a≤4，即a≥－4，故选A.判断函数零点的方法(1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点．(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数．(3)数形结合法，即把函数等价转化为两个函数，通过判断两个函数图象交点的个数得出函数零点的个数．(4)利用零点存在性定理判断．1．(2019·广西桂林市高三综合能力检测)下列函数中是奇函数且有零点的是()A．f(x)＝x＋|x|B．f(x)＝x－1＋xC．f(x)＝1x＋tanxD．f(x)＝sinx＋π2答案C解析因为f(x)＝x＋|x|，所以f(－x)＝－x＋|x|，而－f(x)＝－x－|x|，所以不是奇函数，排除A；因为f(x)＝x－1＋x，所以f(－x)＝－x－1－x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，但令f(x)＝0，可知方程无解，即f(x)没有零点，排除B；因为f(x)＝sinx＋π2＝cosx，所以f(－x)＝cosx＝f(x)，即f(x)为偶函数，排除D；因为f(x)＝1x＋tanx，所以f(－x)＝－1x－tanx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知，y＝－1x与y＝tanx必然有交点，因此函数f(x)＝1x＋tanx必有零点．故选C.2．(2019·马鞍山市一模)若函数f(x)＝ln(x－1)＋2x－ax(a0)恰有一个零点，则实数a的值为()A.12B．2C．1eD．e答案A解析函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，若函数f(x)＝ln(x－1)＋2x－ax(a0)恰有一个零点，等价为f(x)＝ln(x－1)＋2x－ax＝0恰有一个根，即ln(x－1)＋2x＝ax恰有一个根，即函数y＝ln(x－1)＋2x和y＝ax的图象恰有一个交点，即当a0时，y＝ax是函数y＝ln(x－1)＋2x的切线．设g(x)＝ln(x－1)＋2x，切点为(m，n)，则ln(m－1)＋2m＝n，