（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆课件

第1讲直线与圆第二编讲专题专题五解析几何「考情研析」1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题．2.考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题.1核心知识回顾PARTONE1.直线的斜率直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其倾斜角为αα≠π2，则斜率k＝__________＝____________□01y2－y1x2－x1□02tanα.2．直线的两种位置关系3．三种距离公式(1)两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝__________________.(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝_____________________.(3)两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则两平行线的距离d＝_________________.□01x2－x12＋y2－y12□02|Ax0＋By0＋C|A2＋B2□03|C2－C1|A2＋B24．圆的方程(1)标准方程：__________________________.(2)一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是______________________，其中圆心是_______________，半径r＝___________________.□01(x－a)2＋(y－b)2＝r2□02D2＋E2－4F0□03－D2，－E2□04D2＋E2－4F25．直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.d与r的关系直线与圆的关系dr相离d＝r相切dr相交6．两圆的位置关系设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2.2热点考向探究PARTTWO考向1直线的方程及应用例1(1)(2019·天津九校联考)“m＝2”是“直线l1：mx＋4y－6＝0与直线l2：x＋my－3＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析若直线l1：mx＋4y－6＝0与直线l2：x＋my－3＝0平行，则m2＝4，m＝±2，当m＝2时，直线l1：2x＋4y－6＝0与直线l2：x＋2y－3＝0，两直线重合，舍去，所以“直线l1：mx＋4y－6＝0与直线l2：x＋my－3＝0平行”等价于“m＝－2”，所以“m＝2”是“直线l1：mx＋4y－6＝0与直线l2：x＋my－3＝0平行”的既不充分也不必要条件．故选D.(2)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析①当a＝0时，y＝2不符合题意．②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝a＋2a，则a＋2a＝a＋2，得a＝1或a＝－2.故选D.答案D(3)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0答案B解析因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则x＋02－y－22－1＝0，y＋2x×1＝－1，解得x＝－1，y＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0，故选B.(1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．1．(2019·湘赣十四校高三联考)若cosθ＝45，sinθ＝－35，则角θ的终边所在的直线方程为()A．3x－4y＝0B．4x＋3y＝0C．3x＋4y＝0D．4x－3y＝0解析因为cosθ＝45，sinθ＝－35，所以tanθ＝sinθcosθ＝－34，因此角θ的终边所在的直线斜率为－34.故选C.答案C2．已知直线l的倾斜角为34π，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．2解析由题意知l的斜率为－1，则l1的斜率为1，即kAB＝2－－13－a＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－2b＝1(b≠0)，∴b＝－2(经检验满足题意)，∴a＋b＝－2，故选B.答案B3．直线xcosα＋y＋b＝0(α，b∈R)的倾斜角的取值范围是________．解析∵直线的斜率k＝－cosα，α∈R，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的取值范围为0，π4∪3π4，π.答案0，π4∪3π4，π考向2圆的方程及应用例2(1)(2019·成都市高三二诊)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为()A．2B．3C．4D．5答案B解析圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为a2＋1.如图，由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直．则a－2－1－1＝－12，即a＝3.故选B.(2)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2D．(x－2)2＋(y－2)2＝2答案D解析由题意知，曲线方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线方程为y＝x，则所求的最小圆的圆心必在直线y＝x上，又(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离d＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.(3)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A．150°B．135°C．120°D．不存在答案A解析由y＝2－x2得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图形如图所示．设过点P(2，0)的直线为y＝k(x－2)，则圆心到此直线AB的距离d＝|2k|1＋k2，因为S△AOB＝12|OA||OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB，所以当∠AOB＝π2时，S△AOB取最大值，此时圆心O到直线AB的距离为1，由|2k|1＋k2＝1得k＝－33k＝33舍去，故直线l的倾斜角为150°.(1)求圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径，一般是根据已知条件写出方程即可．(2)方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0(AB≠0)表示圆的充要条件是A＝B且D2＋E2－4AF0.1．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为()A．0B．1C．2D．3解析设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝22＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个，选C.答案C2．(2019·宜宾市高三第二次诊断)过直线3x－4y－14＝0上一点P作圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝9的切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最小时，直线AB的方程是()A．4x－3y＋2＝0B．3x－4y＋2＝0C．3x－4y－2＝0D．4x－3y－2＝0答案B解析根据题意，圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圆心C为(－1,2)，半径r＝3；点P为直线3x－4y－14＝0上一点，PA，PB为圆C的切线，则PA⊥CA，PB⊥CB，则有|PA|＝|PB|＝|PC|2－r2＝|PC|2－9，则S四边形PACB＝2S△PCA＝2×12×|CA|×|PA|＝3|PC|2－9，则当|PC|取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线3x－4y－14＝0垂直，且|CP|＝|3×－1－4×2－14|32＋－42＝5，则C到直线AB的距离d＝95，又由CP⊥AB，则直线AB与直线3x－4y－14＝0平行，设直线AB的方程为3x－4y－m＝0，则d＝|3×－1－4×2－m|32＋－42＝95，解得m＝－2或－20(舍去)，则直线AB的方程为3x－4y＋2＝0.故选B.3．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝4B．(x－2)2＋(y－2)2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－3)2＝4答案D解析(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，其关于y＝33x对称的点为(x，y)，则y2＝33·2＋x2，yx－2·33＝－1，解得x＝1，y＝3，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4，故选D.考向3直线与圆、圆与圆的位置关系例3(1)(2019·东北三省高三第二次模拟)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案D解析x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2.x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1.圆心距为4，两圆半径和为3，因为43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.(2)一条光线从点(1，－1)射出，经y轴反射后与圆(x－2)2＋y2＝1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为()A.－34，0B.0，34C.－34，0D.0，34解析由题意可知，反射光线必过(－1，－1)点，设反射光线斜率为k，则反射光线为kx－y＋k－1＝0，由题意可知|2k＋k－1|1＋k21，∴0k34.∴入射光线所在直线的斜率取值范围为－34，0.故选C.答案C(3)已知直线l：ax＋by＋1＝0是圆x2＋y2－6y＋5＝0的对称轴，且直线l与直线x＋y＋2＝0垂直，则直线l的方程为()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0答案D解析x2＋y2－6y＋5＝0化为标准方程x2＋(y－3)2＝4，其圆心为(0,3)，因为直线l：ax＋by＋1＝0是圆x2＋y2－6y＋5＝0的对称轴，故3b＋1＝0，得b＝－13，又直线l与直线x＋y＋2＝0垂直，故－ab＝1，所以a＝13，故直线l的方程为13x－13y＋1＝0，即x－y＋3＝0，选D.(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据圆的几何性质求解．(2)直线与圆相交涉及弦长问题时，主要依据弦长的一半、弦心距、半径的关系求解．(3)经过圆内一点，垂直于过这点的半径的弦最短．1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和两点A(－m,0)，B(m，0)(m0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4解析由题意知，点P在以原点O(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在圆C上，所以只要两个圆有交点即可．圆心C(3,4)到O(0,0)的距离为5，所以|m－2|≤5≤m＋2，解得3≤m≤7，即m的最大值为7.故选A.答案A2．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，则k＝()A．±33B．±3C.33D.3答案A解析圆(x－2)2＋(y－3)2＝4