（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题四 立体几何与空间向量 第3讲 立

第3讲立体几何中的向量方法第二编讲专题专题四立体几何与空间向量核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业「考情研析」以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业1.线、面的位置关系与向量的关系设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(1)l∥m⇒a∥b⇔a＝kb⇔____________________________________；(2)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝_______⇔__________________________；(3)l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝________⇔_________________________；□01a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2□020□03a1a2＋b1b2＋c1c2＝0□040□05a1a3＋b1b3＋c1c3＝0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业(4)l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔_____________________________；(5)α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔_____________________________；(6)α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝______⇔_________________________.□06a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3□07a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4□080□09a3a4＋b3b4＋c3c4＝0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业2．三种空间角与空间向量的关系(1)线线角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cosθ＝___________.(2)线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角θ满足sinθ＝___________.□01|a·b||a||b|□02|l·n||l||n|核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业(3)二面角①如图(Ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝_____________________；②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足______________________________________．□03〈AB→，CD→〉cosθ＝□04－cos〈n1，n2〉或cos〈n1，n2〉2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业考向1利用向量证明平行与垂直例1如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业证明如图，过点D作AB垂线交AB于G，则以D为原点，DG，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易得A(3，－1，0)，B(3，3,0)，C(0，2,0)，E1(3，－1，1)，E32，－12，0，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业F(3，1,0)，D1(0,0,2)，B1(3，3,2)，C1(0,2,2)．(1)CC1→＝(0,0,2)，CF→＝(3，－1,0)．设平面C1FC的法向量n1＝(x，y，z)，则2z＝0，3x－y＝0，令x＝1，得n1＝(1，3，0)，又E1E→＝－32，12，－1，故E1E→·n1＝0，又E1E⊄平面FCC1，所以E1E∥平面FCC1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业(2)D1A→＝(3，－1，－2)，D1C→＝(0,2，－2)，设平面D1AC的法向量n2＝(a，b，c)，由n2·D1A→＝0，n2·D1C→＝0，得3a－b－2c＝0，2b－2c＝0，令b＝1，得其中一个n2＝(3，1,1)．同理易得平面BB1C1C的一个法向量n3＝(1，－3，0)，n2·n3＝0，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业利用空间向量证明平行与垂直的方法步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业(2019·贵阳二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业(1)向量BE→＝(0,1,1)，DC→＝(2,0,0)，故BE→·DC→＝0.所以BE⊥DC.(2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，又因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，所以向量AB→＝(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，而BE→·AB→＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以BE→⊥AB→，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业(3)由(2)知平面PAD的一个法向量AB→＝(1,0,0)，向量PD→＝(0,2，－2)，DC→＝(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PD→＝0，n·DC→＝0，即2y－2z＝0，2x＝0，不妨令y＝1，可得n＝(0,1,1)为平面PCD的一个法向量．则n·AB→＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以n⊥AB→.所以平面PAD⊥平面PCD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业考向2利用空间向量求空间角角度1利用空间向量求异面直线所成的角例2如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业解(1)证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB→，GC→的方向为x轴，y轴正方向，|GB→|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0，2)，F－1，0，22，C(0，3，0)，所以AE→＝(1，3，2)，CF→＝－1，－3，22.故cos〈AE→，CF→〉＝AE→·CF→|AE→||CF→|＝－33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业角度2利用空间向量求线面角例3(2019·银川一中新高三入学考试)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝60°，△PBD是等边三角形，二面角P－BD－C的余弦值为13.(1)求证：BD⊥PC；(2)求直线PC与平面PAD夹角的正弦值．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业解(1)证明：连接AC交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且AC和BD互相平分．又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO，又因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业(2)过点P作PE⊥OC，交点为E，因为BD⊥平面PAC，所以BD⊥PE，因为BD∩OC＝O，所以PE⊥平面ABCD.易知∠POE为二面角P－BD－C的平面角，所以cos∠POE＝13，sin∠POE＝223.又因为∠BAD＝60°，所以△ABD和△PBD都是边长为8的等边三角形．所以OP＝43，则PE＝863，OE＝433.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－43，0)，D(4，0,0)，C(0,43，0)，P0，433，863.所以AD→＝(4,43，0)，DP→＝－4，433，863，PC→＝0，833，－863.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业设平面PAD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则AD→·m＝0，DP→·m＝0，即4x1＋43y1＝0，－4x1＋433y1＋863z1＝0，令x1＝－3，则y1＝3，z1＝－6，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业得平面PAD的一个法向量m＝(－3，3，－6)．所以|cos〈m，PC→〉|＝|m·PC→||m||PC→|＝22，所以直线PC与平面PAD夹角的正弦值为22.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业角度3利用空间向量求二面角例4(2019·马鞍山高三监测)如图，半圆柱O′O中，平面ABB′A′过上、下底面的圆心O′，O，点C，D分别在半圆弧AB，A′B′上且.(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′，求二面角C－AD－B的余弦值．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业解(1)证明：如图，取的中点M，∵OO′⊥平面ABC，∴OA，OM，OO′两两垂直，以O为坐标原点，OA，OM，OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，连接OC，设OA＝1，∠AOC＝θ(0θπ)，则A(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(cosθ，sinθ，0)，D(－cosθ，sinθ，t)，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业于是CD→＝(－2cosθ，0，t)，而平面ABB′A′的一个法向量OM→＝(0,1,0)，由于CD→·OM→＝0及CD⊄平面ABB′A′，所以CD∥平面ABB′A′.(2)设OA＝1，∵2AC＝AB＝AA′，则C12，32，0，D－12，32，2，CD→＝(－1,0,2)，AC→＝－12，32，0，BD→＝12，32，2，BA→＝(2,0,0)．设平面CAD的法向量n1＝(x，y，z)，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业则CD→·n1＝－x＋2z＝0，AC→·n1＝－12x＋32y＝0，不妨令x＝23，得n1＝(23，2，3)，设平面BAD的法向量n2＝(x′，y′，z′)，则BD→·n2＝12x′＋32y′＋2z′＝0，BA→·n2＝2x′＝0，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题配套作业不妨设y′＝4，得n2＝(0,4，－3)，所以cos〈n1，n2〉＝