（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题七 选修4系列 第2讲 不等式选讲

第2讲不等式选讲第二编讲专题专题七选修4系列「考情研析」不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用．其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点．难度不大，分值10分，一般会出现在选考部分第二题的位置.1核心知识回顾PARTONE1.绝对值的三角不等式定理1：如果a，b是实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．□01|a＋b|≤|a|＋|b|□02|a－c|≤|a－b|＋|b－c|2．|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c0)⇔.(2)|ax＋b|≥c(c0)⇔.3．|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．□01－c≤ax＋b≤c□02ax＋b≥c或ax＋b≤－c4．证明不等式的基本方法(1)；(2)；(3)；(4)；(5)5．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥，当且仅当时，等号成立．□01比较法□02综合法□03分析法□04反证法□05放缩法．□01(ac＋bd)2□02ad＝bc2热点考向探究PARTTWO考向1绝对值不等式的解法及应用角度1绝对值不等式的解法例1(2019·乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－a|，a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)x有实数解，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，当x＜－1时，由f(x)＜0得－2(x＋1)＋(x－1)＜0，即－x－3＜0，得x＞－3，此时－3＜x＜－1，当－1≤x≤1，由f(x)＜0得2(x＋1)＋(x－1)＜0，即3x＋1＜0，得x＜－13，此时－1≤x＜－13，当x＞1时，由f(x)＜0得2(x＋1)－(x－1)＜0，即x＋3＜0，得x＜－3，此时无解，综上，不等式的解集为x－3＜x＜－13.(2)∵f(x)＜x⇔2|x＋2|－x＜|x－a|有解，等价于函数y＝2|x＋2|－x的图象上存在点在函数y＝|x－a|的图象下方，由函数y＝2|x＋2|－x与函数y＝|x－a|的图象可知，a＞0或a＜－4.解绝对值不等式的步骤和方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点．②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式．④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．(3)用绝对值不等式的几何意义求解．(1)解关于x的不等式x|x＋4|＋30；(2)关于x的不等式|x|＋2|x－9|a有解，求实数a的取值范围．解(1)原不等式等价于x＋40，－xx＋4＋30或x＋4≥0，xx＋4＋30，解得x－2－7或－3x－1，所以原不等式的解集是(－∞，－2－7)∪(－3，－1)．(2)令f(x)＝|x|＋2|x－9|，则关于x的不等式|x|＋2|x－9|a有解等价于af(x)min.f(x)＝3x－18，x≥9，18－x，0≤x9，18－3x，x0，所以f(x)的最小值为9.所以a9，即实数a的取值范围为(9，＋∞)．角度2绝对值不等式恒成立(或存在性)问题例2(2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤－x的解集；(2)若f(x)≤a2＋1恒成立，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|－|x＋2|，即f(x)＝3，x≤－2，－2x－1，－2＜x＜1，－3，x≥1，不等式f(x)≤－x即为x≤－2，3≤－x或－2x1，－2x－1≤－x或x≥1，－3≤－x，即有x≤－3或－1≤x＜1或1≤x≤3，得x≤－3或－1≤x≤3，所以不等式的解集为{x|x≤－3或－1≤x≤3}．(2)因为|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，所以f(x)≤|a＋2|，若f(x)≤a2＋1恒成立，则|a＋2|≤a2＋1，即a≤－2，－a－2≤a2＋1或a－2，a＋2≤a2＋1，解得a≤1－52或a≥1＋52，解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f(x)a恒成立⇔f(x)mina；f(x)a恒成立⇔f(x)maxa；f(x)a有解⇔f(x)maxa；f(x)a有解⇔f(x)mina；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)a无解⇔f(x)min≥a.(2019·宣城市高三第二次调研)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝2x＋1.(1)解关于x的不等式g(x)≥|x－1|；(2)如果对∀x∈R，不等式|g(x)|－c≥|x－1|恒成立，求实数c的取值范围．解(1)由题意可得，g(x)＝2x－1，所以g(x)≥|x－1|即2x－1≥|x－1|.①当x≥1时，2x－1≥x－1，解得x≥0，所以x≥1；②当x1时，2x－1≥1－x，解得x≥23，所以23≤x1.考向2绝对值不等式的证明例3已知a0，b0，函数f(x)＝|x＋a|－|x－b|.(1)当a＝1，b＝1时，解关于x的不等式f(x)1；(2)若函数f(x)的最大值为2，求证：1a＋1b≥2.解(1)当a＝1，b＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2，x≥1，2x，－1≤x1，－2，x－1，①当x≥1时，f(x)＝21，不等式恒成立，此时不等式的解集为{x|x≥1}；②当－1≤x1时，f(x)＝2x1，所以x12，此时不等式的解集为x12x1；③当x－1时，f(x)＝－21，不等式不成立，此时无解．综上所述，不等式f(x)1的解集为xx12.(2)证法一：由绝对值三角不等式可得|x＋a|－|x－b|≤|a＋b|，a0，b0，∴a＋b＝2，∴1a＋1b＝12(a＋b)1a＋1b＝122＋ba＋ab≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．证法二：∵a0，b0，∴－a0b，∴函数f(x)＝|x＋a|－|x－b|＝|x－(－a)|－|x－b|＝a＋b，x≥b，2x＋a－b，－a≤xb，－a＋b，x－a，结合图象易得函数f(x)的最大值为a＋b，∴a＋b＝2.∴1a＋1b＝12(a＋b)1a＋1b＝122＋ba＋ab≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．不等式证明的常用方法(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法．(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．②利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．③转化为函数问题，利用数形结合进行证明．(2019·延安市高考模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)≤56.解(1)因为f(x)|x|＋1，所以|2x－1||x|＋1，即x≥12，2x－1x＋1或0x12，1－2xx＋1或x≤0，1－2x－x＋1，解得12≤x2或0x12或∅.所以不等式的解集为{x|0x2}．(2)证明：因为|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，所以f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56.考向3柯西不等式的应用例4已知a，b，c0，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证明(1)由柯西不等式得(a＋b＋c)2＝(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)[(a)2＋(b)2＋(c)2]＝3，当且仅当1a＝1b＝1c，即a＝b＝c＝13时等号成立，∴a＋b＋c≤3.(2)证法一：∵43a＋1＋(3a＋1)≥243a＋1·3a＋1＝4当且仅当3a＋1＝43a＋1时取等号，∴43a＋1≥3－3a.同理得43b＋1≥3－3b，43c＋1≥3－3c，以上三式相加得，413a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥9－3(a＋b＋c)＝6当且仅当a＝b＝c＝13时取等号，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证法二：由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥3a＋1·13a＋1＋3b＋1·13b＋1＋3c＋1·13c＋12＝9当且仅当a＝b＝c＝13时取等号，又a＋b＋c＝1，∴613a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥9，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.柯西不等式的应用方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a21＋a22＋…＋a2n)1a21＋1a22＋…＋1a2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．(2019·南通市高三下学期模拟)已知a，b，c均为正数，且a＋2b＋4c＝3，求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值．解因为a＋2b＋4c＝3，所以(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)＝10，因为a，b，c为正数，所以由柯西不等式得，[(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)]·1a＋1＋1b＋1＋1c＋1≥(1＋2＋2)2，当且仅当(a＋1)2＝2(b＋1)2＝4(c＋1)2等式成立，所以1a＋1＋1b＋1＋1c＋1≥11＋6210，所以1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值是11＋6210，此时a＝23－1027，b＝152－177，c＝8－527.3真题VS押题PARTTHREE『真题模拟』1．(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|－a.(1)当a＝4时，求不等式f(x)0的解集；(2)若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围．解(1)当a＝4时，f(x)＞0为|2x－1|＋2|x＋1|4，当x≤－1时，1－2x－2x－24⇒x－54；当－1x12时，1－2x＋2x＋24，无解；当x≥12时，2x－1＋2x＋24⇒x34.综上，f(x)0的解集为（－∞，－54）∪（34，＋∞）.(2)由题意得|2x－1|＋2|x＋1|a恒成立，a(|2x－1|＋2|x＋1|)min.|2x－1|＋2|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，∴a3.2．(2019·赤峰市高三模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，g(x)＝x2－2x－1.(1)若m，n∈R，不等式f(m)≥g(n)恒成立，求实数n的取值范围；(2)设a0，b0，且a＋b＝2，求证：a＋1＋b＋1≤2fx.解(1)由f(m)＝|m－1|＋|m＋1|≥|(