（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题六 概率与统计 第3讲 概率、随机

第3讲概率、随机变量及其分布列第二编讲专题专题六概率与统计「考情研析」1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用．2.考查条件概率、相互独立事件的概率及独立重复试验的概率．3.以实际问题为背景，多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差．近两年解答题难度加大，2019年全国卷Ⅰ作为压轴题出现.1核心知识回顾PARTONE1.概率的计算公式(1)古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.(2)互斥事件的概率计算公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝_____________________．(3)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝________________．□01P(A)＋P(B)□021－P(B)(4)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2．离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列性质①pi_________0，i＝1,2，…，n.②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__________.(2)数学期望公式E(X)＝__________________________________.□01≥□021□03x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn(3)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，标准差为DX.(4)数学期望与方差的性质①E(aX＋b)＝_______________(a，b为常数)．②D(aX＋b)＝____________(a，b为常数)．③若X服从两点分布，则E(X)＝________，D(X)＝___________．④若X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝______________．□04aE(X)＋b□05a2D(X)□06p□07p(1－p)□08np□09np(1－p)(5)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)＝________________，独立重复试验的概率计算公式Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，条件概率公式P(B|A)＝________________.□10P(A)P(B)□11PABPA(6)正态分布的定义及表示如果随机变量X服从正态分布，记作__________________．满足正态分布的三个常用数据：①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.□12X～N(μ，σ2)2热点考向探究PARTTWO考向1古典概型与几何概型例1(1)(2019·青岛市高三一模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是()A.716B.916C.35D.12答案B解析由题图可知，黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得，P(A)＝9S小三角形16S小三角形＝916.故选B.(2)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为()A.956B.928C.914D.59解析分析可知，要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P＝C24C23C58＝928.答案B(3)(2019·赤峰市高三模拟)我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为784，则由此可估计π的近似值为()A．3.119B．3.124C．3.136D．3.151答案C解析根据已知程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取(0,1)内的两个数x，y，将这两个数看作为平面区域内的一个点(x，y)，该点落在x2＋y21的概率为π4，计数变量m表示计算该点落入平面区域x2＋y21的次数，因为输出的结果为784，所以在1000次中共有784次该点落入在平面区域x2＋y21内，根据古典概型计算公式可得P＝7841000，所以有π4≈7841000，故π≈3.136，故选C.1．利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．2．几何概型的适用条件及求解关键(1)适用条件：当构成试验的结果满足无限且等可能性时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键：根据试验要求构造几何模型，如长度、面积、体积、夹角等，找出对等几何量，再做比值．1．(2019·焦作市高三模拟)记[m]表示不超过m的最大整数．若在x∈18，12上随机取1个实数，则使得[log2x]为偶数的概率为()A.23B.12C.13D.14解析若x∈18，12，则log2x∈(－3，－1)．要使得[log2x]为偶数，则log2x∈[－2，－1)．所以x∈14，12，故所求概率P＝12－1412－18＝23.故选A.答案A2．(2019·宝鸡市高考模拟)在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“▅▅”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是()A.17B.516C.916D.58答案B解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的基本事件m＝C36＝20，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是P＝mn＝2064＝516.故选B.3．一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则至少摸到2个黑球的概率为________．答案27解析从中摸出3个球，摸到2个黑球的概率为P1＝C23C15C38，摸到3个黑球的概率为P2＝C33C38，所以至少摸到2个黑球的概率为P＝P1＋P2＝C23C15＋C33C38＝27.考向2相互独立事件和独立重复试验例2甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P.(1)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，且甲、乙两袋中白球共有20个，求甲袋中红球的个数；(2)设P＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和数学期望．解(1)由题设知，甲袋中红球的个数为25m，乙袋中红球的个数为2mP，∵从中摸出1个红球的概率是13，∴25m＋2mP3m＝13，解得P＝310，∵甲、乙两袋中白球共有20个，∴25m＋35m＝3m－20，解得m＝10，即甲袋中红球的个数为25m＝4个．(2)由题设知，ξ的取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P(ξ＝1)＝25×45×45＋35×C12×15×45＝56125，P(ξ＝2)＝25×C12×15×45＋35×152＝19125，P(ξ＝3)＝25×152＝2125.故ξ的分布列为ξ0123P4812556125191252125∴E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45.求复杂事件概率的方法及注意点(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(3)注意点：注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(2019·四川省高三第二次诊断)某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望．解(1)因为(0.005＋0.010＋0.025＋a＋0.020)×10＝1，解得a＝0.040，设y为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知80＜y＜90，所以0.4＋(y－80)×0.04＝0.5，则y＝82.5.(2)由(1)知，花苗为优质花苗的概率为0.4＋0.2＝0.6，记优质花苗数为ξ，由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C03×(0.4)3＝0.064，P(ξ＝1)＝C13×(0.4)2×0.6＝0.288，P(ξ＝2)＝C23×(0.6)2×0.4＝0.432，P(ξ＝3)＝C33×(0.6)3＝0.216，所以ξ的分布列为ξ0123P0.0640.2880.4320.216所以数学期望为E(ξ)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.考向3离散型随机变量的分布列例3(2019·东北三省四市高三第一次模拟)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]进行分组，得到下列统计图．(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间少于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解(1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为200×620＝60，第二组工人40人．其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30人，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为400×3040＝300.(2)第一组工人生产一件产品时间的平均数为x－甲＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78.第二组工人生产一件产品时间的平均数为x－乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5.∵x－甲x－乙，∴乙车间工人生产效率更高．(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，从中抽取3人，其中生产时间少于65min的有2人．所以X可取值为0,1,2.P(X＝0)＝C02C34C36＝420＝15.P(X＝1)＝C12C24C36＝1220＝35，P(X＝2)＝C22C14C36＝