（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题六 概率与统计 第1讲 排列、组合

第1讲排列、组合、二项式定理第二编讲专题专题六概率与统计「考情研析」1.高考中主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，有时会与概率相结合，以选择题、填空题为主．2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.1核心知识回顾PARTONE1．排列排列数公式：Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)＝_____________(m≤n，m，n∈N*)．2．组合(1)组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝__________________________＝___________________(m≤n，m，n∈N*)，由于0！＝1，所以C0n＝1.□01n！n－m！□01nn－1…n－m＋1mm－1…1□02n！m！n－m！(2)组合数的性质3．二项式定理(1)二项展开式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋_______________＋…＋Cnnbn(n∈N*)．通项：Tk＋1＝________________(k＝0,1,2，…，n)．□01Cknan－kbk□02Cknan－kbk(2)二项式系数的有关性质①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝___________；②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝__________________.□032n－1□04f1－f－122热点考向探究PARTTWO考向1两个计数原理例1(1)(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有()A．144种B．24种C．12种D．6种答案D解析由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有2种安排方法，其他两名运动员有2种安排方法，共计2×2＝4种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4＋2＝6种不同的安排方法．故选D.(2)某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有______种选考方法()A．6B．12C．18D．24答案C解析①从物化生中选一科，从史地政中选两科，有：C13C23＝9，②从物化生中选两科，从史地政中选一科，有C23C13＝9，所以共有9＋9＝18种．故选C.(3)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A．72种B．48种C．24种D．12种答案A解析解法一：首先涂A有C14＝4种涂法，则涂B有C13＝3种涂法，C与A，B相邻，则C有C12＝2种涂法，D只与C相邻，则D有C13＝3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．解法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72种．应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．1．(2019·大兴区高三4月一模)中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为()A．8B．10C．15D．20答案B解析由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1＝10.故选B.2．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A．16种B．18种C．22种D．37种答案A解析可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有C12C24＝12种；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有C22C14＝4种，所以共有12＋4＝16种不同的情况．故选A.3．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有()A．48种B．72种C．96种D．108种答案B解析如图所示，若点B与D处所染颜色相同，则不同的染色方法有4×3×2×2＝48种；若点B与D处所染颜色不相同，则不同的染色方法有4×3×2×1＝24种，由分类加法计数原理可知不同的染色方法有48＋24＝72种．考向2排列与组合问题例2(1)(2019·天一大联考高三阶段性测试)有5名学生需从数学建模、程序设计两门课中选择一门，且每门课至少有2名学生选择，则不同的选择方法共有()A．10种B．12种C．15种D．20种答案D解析根据题意，先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有C25＝10种情况，再将2组对应2门课程，有A22＝2种情况，则不同的选择方法种数为10×2＝20.故选D.(2)将数字“124467”重新排列后得到不同偶数的个数为()A．72B．120C．192D．240答案D解析由题意，末尾是2或6，不同偶数的个数为C12A55A22＝120，末尾是4，不同偶数的个数为A55＝120，故共有120＋120＝240.故选D.(3)某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．若A，B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的顺序经过A，B两城市(A，B两城市可以不相邻)，则不同的游览线路有()A．120种B．240种C．480种D．600种答案D解析已知A，B必选，则从剩下的5个城市中再选取3个，有C35种情况，此时5个城市已确定，将其全排列共有A55种情况，又A，B顺序一定，则根据分步乘法计数原理，得不同的游览线路有C35A55A22＝600种．故选D.解答排列组合问题的常用方法排列组合问题从解法上看，大致有以下几种：(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏．(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决．(3)元素相邻，可以利用捆绑法．(4)元素不相邻，可以利用插空法．(5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉．(6)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来．(7)定序问题缩倍法．(8)“小集团”问题先整体后局部法．1．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．56C．49D．28答案C解析由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．解法一：(直接法)甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．解法二：(间接法)从9人中选3人有C39种选法，其中甲、乙均不入选有C37种选法．满足条件的选派方法有C39－C37＝84－35＝49种不同选法．2．(2019·甘肃省高三第一次高考诊断)《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数14种计算器械的使用方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有()A.C414C510C55A33A22B.C414C510C55A22A33C.C414C510C55A22D．C414C510C55答案A解析先将14种计算器械分为三组，方法数有C414C510C55A22种，再排给3个人，方法数有C414C510C55A22×A33种．故选A.3．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6答案B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解．①当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位，因此排成的三位奇数有C23A22＝6个．②当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C23种方法，然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列，因此排成的三位奇数有C23C12A22＝12个．所以由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数．考向3二项式定理例3(1)(2019·西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校高三联考)已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中，x3的系数为56，则实数a的值为()A．6或－1B．－1或4C．6或5D．4或5解析因为(x＋1)6(ax－1)2＝(x＋1)6(a2x2－2ax＋1)，所以(x＋1)6(ax－1)2的展开式中x3的系数是C36＋C26(－2a)＋C16a2＝6a2－30a＋20，∴6a2－30a＋20＝56，解得a＝6或－1.故选A.答案A(2)二项式x＋2x2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180B．90C．45D．360解析依题意n＝10，则x＋2x210的通项公式Tr＋1＝Cr10(x)10－r2x2r＝.令5－52r＝0，得r＝2.∴展开式中的常数项T3＝22C210＝180.答案A(3)若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝()A．80B．120C．180D．240解析由(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5两边求导，可得15(3x－1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋5a5x4，令x＝1得，15×(3－1)4＝a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5，即a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝240，故选D.答案D解与二项式定理有关问题的四个关注点(1)Tr＋1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项．(3)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混．(4)二项式系数最大项与展开式系数最大项不同．1．(2019·拉萨市高三第二次模拟)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80解析要求(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数，则是x＋y中x与(2x－y)5展开式中x2y3相乘，以及x＋y中y与(2x－y)5展开式中x3y2相乘，二者再相加．而(2x－y)5展开式中，x2y3项为C35(2x)2(－y)3＝－40x2y3，x3y2项为C25(2x)3(－y)2＝80x3y2.所以(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的项为－40x3y3＋80x3y3＝40x3y3.故选C.答案C2．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．解析(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C010(x2)10－C110(x2)9(x－1