（全国通用）2020版高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题八 数学文化与创新应用 第2讲 新

第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破第二编讲专题专题八数学文化与创新应用「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．1核心知识回顾PARTONE1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．2热点考向探究PARTTWO考向1新定义型问题例1(1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝lnx}；M3＝{(x，y)|y＝ex}；M4＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“互垂点集”集合的为()A．M1B．M2C．M3D．M4答案D解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合M1，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝x22＋1＝0不成立，所以集合M1不是“互垂点集”．对于集合M2，x0，当x1＝1时，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0不成立，所以集合M2不是“互垂点集”．对于集合M3，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝ex2＝0不成立，所以集合M3不是“互垂点集”．排除A，B，C.故选D.(2)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)＝2，x0，－x3＋6x2－9x＋a，x≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a的值为()A．－2B．2C．1D．0答案B解析首先注意到(0，a)没有对称点，当x0时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x0)有两个实数根，即a＝－x3－6x2－9x－2(x0)有两个实数根．画出y＝－x3－6x2－9x－2(x0)的图象如图所示，由图可知a＝2时有两个解．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．1．若数列{an}满足1an＋1－pan＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{an}为“梦想数列”．已知正项数列1bn为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是()A．2B．4C．6D．8答案B解析依题意可得bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列．又b1b2b3·…·b99＝299＝b9950，则b50＝2.b8＋b92≥2b8·b92＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新运算：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是()A．②B．①②C．②③D．①②③答案D解析根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg(10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg(10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝lg[10c(10a＋10b)]＝lg(10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.考向2创新型问题例2(1)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π的值约为()A.227B.4715C.5116D.6017答案B解析(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为x＋y1，x2＋y21，0x1，0y1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360＝π4－121×1，解得π＝4715.(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为()A.23B.25C.12D.15答案C解析本题考查古典概型和排列组合．依题意，从5种物质中任取2种，共有C25＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P＝12，故选C.高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．1．(2019·南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2，则当x∈[－2,2]时，函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12答案C解析由已知得1⊕x＝1x≤1，x2x1，2⊕x＝2x≤2，x2x2，所以f(x)＝x－2x≤1，x3－21x≤2，x3－x2x2，可求出当x≤1时，函数的最大值是－1；当1x≤2时，函数的最大值是6.所以当x∈[－2,2]时，函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值等于6，选C.2．把数列12n－1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k行有2k－1个数，第t行的第s个数(从左数起)记为A(t，s)，则数列12n－1中的项1287应记为________．答案A(8,17)解析令2n－1＝287⇒n＝144⇒1287是数列12n－1的第144项，由S7＝27－12－1＝127⇒A(8,17)．考向3实际应用型问题例3(1)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点MB．点NC．点PD．点Q解析由题图2可知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以舍去N，M两点，不选B，A；若是P点，则从最高点到点C依次递减，与图2矛盾，因此取Q，即选D.答案D(2)(2019·湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为f(x)＝12x2＋2x＋20(万元)，商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润＝收入－成本)，该企业一个月应生产该商品的数量为()A．9万件B．18万件C．22万件D．36万件答案B解析由题意可得，获得最大利润时的收入是20x万元，成本是12x2＋2x＋20，所以此时的利润为M＝20x－12x2＋2x＋20＝－12x2＋18x－20＝－12(x－18)2＋142≤142，当且仅当x＝18时，取最大值．故选B.求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1R＋r2＋M2r2＝(R＋r)M1R3.设α＝rR.由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α51＋α2≈3α3，则r的近似值为()A.M2M1RB.M22M1RC.33M2M1RD.3M23M1R答案D解析由α＝rR得r＝αR，代入M1R＋r2＋M2r2＝(R＋r)·M1R3，整理得3α3＋3α4＋α51＋α2＝M2M1.又∵3α3＋3α4＋α51＋α2≈3α3，∴3α3≈M2M1，∴α≈3M23M1，∴r＝αR≈3M23M1R.故选D.2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L(x)(单位：千双)是关于销售单价x(单位：元)的函数．已知销售单价不低于1元．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x≤20时，月销售量L(x)与销售单价x的函数关系为L(x)＝ax2＋b(a，b为常数)．记月销售额(单位：千元)为f(x)＝x·L(x)，为使f(x)达到最大值，则销售单价x应为()A．1元B．2元C．3元D．4元答案D解析由题得，当1≤x≤4时，L(x)＝2.125；当x＝20时，L(x)＝0.205；当4≤x≤20时，L(x)＝ax2＋b(a，b为常数)，则L4＝2.125，L20＝0.205，即a42＋b＝2.125，a202＋b＝0.205，解得a＝32，b＝18，所以L(x)＝32x2＋18，故函数L(x)的表达式为L(x)＝2.125，1≤x≤4，32x2＋18，4x≤20.故f(x)＝x·L(x)＝2.125x，1≤x≤4，32x＋x8，4x≤20.当1≤x≤4时，f(x)为增函数，故当x＝4时，f(x)的最大值为8.5；当4x≤20时，可知函数f(x)＝32x＋x8在区间(4,16]