（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆课件

专题五解析几何第1讲直线与圆[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019直线与圆的位置关系·T21(1)双曲线的性质、圆与圆的位置关系·T12直线与圆及抛物线的位置关系·T21(2)2018直线与圆的弦长问题·T15直线方程、圆的方程、点到直线的距离·T82017直线与圆相切、椭圆的离心率·T11(1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现．(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第11题或第15题位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．考点一直线的方程[例1](1)已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为()A．18B．12C．14D．2(2)若直线l1：y＝kx－k＋2与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点()A．(3，1)B．(3，0)C．(0，1)D．(2，1)[解析](1)直线l1，l2恒过点P(2，4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2，因为0＜k＜4，所以4－k＞0，2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝12×2×(4－k)＋12×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8＝4k－182＋12716，故当k＝18时，面积最小．(2)∵y＝kx－k＋2＝k(x－1)＋2，∴l1：y＝kx－k＋2过定点(1，2)．设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，则1＋x2＝2，2＋y2＝1，得x＝3，y＝0，∴直线l2过定点(3，0)．故选B.[答案](1)A(2)B[解题方略]1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组A·x1＋x22＋B·y1＋y22＋C＝0，y2－y1x2－x1·－AB＝－1，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决[跟踪训练]1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为()A.423B．42C.823D.22解析：因为l1∥l2，所以1a－2＝a3≠62a，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，所以l1与l2的距离d＝6－232＝823.答案：C2．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝()A．102B．10C．5D．10解析：由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.答案：D考点二圆的方程[例2](1)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则三角形ABC外接圆的方程是()A．x2＋(y－3)2＝5B．x2＋(y＋3)2＝5C．(x－3)2＋y2＝5D.(x＋3)2＋y2＝5(2)圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________________．[解析](1)∵AB―→＝(－4－2a，a－2)，AC―→＝(2，0)，∴AB―→·AC―→＝－8－4a＝0，解得a＝－2.∴A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，|BC|＝25，又BC的中点坐标为(－3，0)，∴三角形ABC外接圆的圆心为(－3，0)，半径为|BC|2＝5，∴三角形ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.(2)设圆心M为(x，－4x)，kMP＝2－4xx－3，kl＝－1，所以kMP·kl＝－1，所以x＝1，所以M(1，－4)，所以r＝|MP|＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.[答案](1)D(2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8[解题方略]求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程[跟踪训练]1．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝5与圆C2相交于A(0，2)，B(－1，1)两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋y2＝5B．(x－1)2＋y2＝92C．x－122＋y－122＝5D．x－122＋y－122＝92解析：法一：(常规求解法)设圆C2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C1C2.因为C1(－2，3)，A(0，2)，B(－1，1)，所以|AC1|＝|BC1|＝5，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且|AC2|＝5.可得3－b－2－a×1－2－1－0＝－1，a2＋（b－2）2＝5，解得a＝1，b＝0或a＝－2，b＝3，则圆心C2的坐标为(1，0)或(－2，3)(舍去)．因为圆C2的半径为5，所以圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝5.故选A.法二：(特值验证法)由题意可知，平行四边形C1AC2B为菱形，则|C2A|＝|C1A|＝22＋（2－3）2＝5，即圆C2的半径为5，排除B、D；将点A(0，2)代入选项A、C，显然选项A符合．故选A.答案：A2．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为____________．解析：kPQ＝3－a－b3－b－a＝1，故直线l的斜率为－1，由点斜式可知l的方程为y＝－x＋3，圆心(2，3)关于直线y＝－x＋3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：－1x2＋(y－1)2＝1考点三直线与圆的位置关系题型一圆的切线问题[例3](1)过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0(2)设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBMC面积的最小值为________．[解析](1)当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则|k－1＋4－2k|k2＋1＝1，解得k＝43，则切线方程为4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.(2)圆心O到直线3x＋4y＝25的距离d＝259＋16＝5，则|OM|≥d＝5，所以切线长|MB|＝|OM|2－2≥d2－2＝23，所以S四边形OBMC＝2S△OBM≥2×12×23×2＝46.[答案](1)C(2)46[变式1]本例(2)变为：过点A(1，3)，作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBAC的面积为________．解析：由相切可得S四边形OBAC＝2S△OBA，因为△OAB为直角三角形，且|OA|＝10，|OB|＝2，所以|AB|＝22，即S△OBA＝12×22×2＝2，所以S四边形OBAC＝2S△OBA＝4.答案：4[变式2]本例(2)变为：设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线l1，l2，则l1与l2的最大夹角的正切值是________．解析：设一个切点为B，圆心O到直线3x＋4y＝25的距离为d＝259＋16＝5，则tan∠OMB＝|OB||MB|≤223，所以tan2∠OMB＝2tan∠OMB1－tan2∠OMB＝21tan∠OMB－tan∠OMB≤24621.故所求最大夹角的正切值为24621.答案：24621[解题方略]直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．题型二圆的弦长问题[例4]已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点．(1)求圆C的方程；(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．[解](1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r，即（a＋2）2＋（a－0）2＝（a－0）2＋（a－2）2＝r，解得a＝0，r＝2，故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d21＋d2＝1.又|PQ|＝2×4－d2，|MN|＝2×4－d21，所以S＝12|PQ|·|MN|，即S＝12×2×4－d2×2×4－d21＝216－4（d21＋d2）＋d21d2＝212＋d21d2≤212＋d21＋d222＝212＋14＝7，当且仅当d1＝d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.[解题方略]求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋l24(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解[跟踪训练]1．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝255，则直线l的方程为________．解析：直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2，3)到直线l的距离d＝|2k－3＋1|k2＋1＝|2k－2|k2＋1，由r2＝d2＋|MN|22，得1＝（2k－2）2k2＋1＋15，解得k＝2或12，故所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝12x＋1.答案：y＝2x＋1或y＝12x＋12．(2019·山东枣庄期末改编)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为_______，|AB|＝________．解析：圆x2＋y2＋6x＝0的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.又因为点P(1，1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为1－01－3＝－12，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d＝5，圆的半径r＝3，则|AB|＝2r2－d2＝4.答案：2x－y－1＝043．已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为__