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专题一三角函数和平面向量微切口7向量的等和线在△PAB所在平面上的点C满足PC→＝xPA→＋yPB→，且x＋y＝2，请指出点C的位置．【思维引导】(例1)【解答】令PC→＝2PD→＝(x＋y)PD→，则PD→＝xx＋yPA→＋yx＋yPB→.由xx＋y＋yx＋y＝1，得点A，B，D共线，即点D在直线AB上．如图，由PC→＝2PD→知点C在直线A′B′上，其中PA′→＝2PA→，PB′→＝2PB→.在△PAB所在平面上的点C满足PC→＝xPA→＋yPB→，且2x＋3y＝5，请指出点C的位置．【解答】令PC→＝5PD→＝(2x＋3y)PD→，则PD→＝x2x＋3yPA→＋y2x＋3yPB→，即PD→＝2x2x＋3yPA1→＋3y2x＋3yPB1→，其中PA1→＝12PA→，PB1→＝13PB→.由2x2x＋3y＋3y2x＋3y＝1，得点A1，B1，D共线，即点D在直线A1B1上．如图，由PC→＝5PD→知点C在直线A2B2上，其中PA2→＝5PA1→，PB2→＝5PB1→.(变式)若△PAB是边长为6的等边三角形，点C满足PC→＝xPA→＋yPB→，且2x＋3y＝4，其中x＞0，y＞0，则|PC→|的取值范围为____________．【思维引导】12217，12【解析】令PC→＝4PD→＝(2x＋3y)PD→，则PD→＝x2x＋3yPA→＋y2x＋3yPB→，即PD→＝2x2x＋3yPA1→＋3y2x＋3yPB1→，其中PA1→＝12PA→，PB1→＝13PB→.由2x2x＋3y＋3y2x＋3y＝1知点D在线段A1B1上(不含点A1，B1)，如图．(例2)在△PA1B1中，因为|PA1→|＝3，|PB1→|＝2，∠A1PB1＝60°，且点D在线段A1B1上(不含端点A1，B1)，所以|PH→|≤|PD→|＜|PA1→|，其中PH是边A1B1上的高．由A1B1→2＝(PB1→－PA1→)2＝PB1→2＋PA1→2－2PB1→·PA1→＝7，得|A1B1→|＝7.又由S△PA1B1＝12|PA1→|·|PB1→|·sin∠A1PB1＝12|A1B1→|·|PH→|，得|PH→|＝3217，所以3217≤|PD→|＜3.由PC→＝4PD→，知12217≤|PC→|＜12.若点C在以P为圆心，6为半径的弧AB上，∠APB＝120°，且PC→＝xPA→＋yPB→，则2x＋3y的取值范围为____________．2，2573【解析】令PC→＝(2x＋3y)PD→，则PD→＝x2x＋3yPA→＋y2x＋3yPB→，即PD→＝2x2x＋3yPA1→＋3y2x＋3yPB1→，其中PA1→＝12PA→，PB1→＝13PB→.由2x2x＋3y＋3y2x＋3y＝1知点D在线段A1B1上(含点A1，B1)，如图．(变式)在△PA1B1中，因为|PA1→|＝3，|PB1→|＝2，∠A1PB1＝120°，且点D在线段A1B1上(含端点A1，B1)，所以|PH→|≤|PD→|≤|PA1→|，其中PH是边A1B1上的高．由A1B1→2＝(PB1→－PA1→)2＝PB1→2＋PA1→2－2PB1→·PA1→＝19，得|A1B1→|＝19.又由S△PA1B1＝12|PA1→|·|PB1→|·sin∠A1PB1＝12|A1B1→|·|PH→|，得|PH→|＝35719，所以35719≤|PD→|≤3.由PC→＝(2x＋3y)PD→，知2x＋3y＝|PC→||PD→|＝6|PD→|∈2，2573.【基本定理】(一)平面向量共线定理：已知OA→＝λOB→＋μOC→，若λ＋μ＝1，则A，B，C三点共线；反之亦然．(二)等和线：已知平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OP→，OP→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，如图，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0,1)；(3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过点O时，k＝0；(5)若两等和线关于点O对称，则定值k互为相反数．【解题步骤及说明】1.求k＝1的等和线；2.平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3.从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值．说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．