（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 微切口6 几何图形中数量积的应用

专题一三角函数和平面向量微切口6几何图形中数量积的应用如图，在平行四边形ABCD中，若AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝________.【思维引导】18【解析】设AC与BD交于点O，故AC→＝2AO→，AP→·AC→＝2AP→·AO→，由AP→·AO→＝|AP→|·(|AO→|cos∠OAP)＝AP→2，得AP→·AC→＝2AP→2＝18.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC,BC＝2AD，且AC⊥BD，若BC→·BD→＝6，则|BD→|＝________.3【解析】设AC与BD交于点E，由AD∥BC,BC＝2AD，得BEED＝2，所以BD→＝32BE→.因为AC⊥BD，所以BCcos∠CBE＝BE，由BC→·BD→＝6，得BC→·32BE→＝6，则BC→·BE→＝4，所以BC→·BE→＝(BC→cos∠CBE)·BE→＝BE→2，故BE→2＝4，所以|BD→|＝3.(1)(2019·天津卷)在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝23，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，那么BD→·AE→＝________.【思维引导】(1)(2)－1【解析】(1)方法一：如图(1)，过点B作AE的平行线交AD于点F.(例2(1))因为AE＝BE，故平行四边形AEBF为菱形．因为∠BAD＝30°，AB＝23，所以AF＝2，即AF→＝25AD→.因为AE→＝FB→＝AB→－AF→＝AB→－25AD→，所以BD→·AE→＝(AD→－AB→)·AB→－25AD→＝75AB→·AD→－AB→2－25AD→2＝75×23×5×32－12－10＝－1.方法二：建立如图(3)所示的平面直角坐标系，则B(23，0)，D532，52.(例2(3))因为AD∥BC，∠BAD＝30°，所以∠CBx＝30°，因为AE＝BE，所以∠BAE＝30°，所以直线BE的斜率为33，其方程为y＝33(x－23)，直线AE的斜率为－33，其方程为y＝－33x.由y＝33x－23，y＝－33x，得x＝3，y＝－1，所以E(3，－1)，所以BD→·AE→＝32，52·(3，－1)＝－1.(2)(2019·南方凤凰台密题)如图(2)，正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，若P为梯形A3A4A5A6内(包含四条边)的任意一点，则A1A3→·A6P→的取值范围为________．(例2(2))[0,3](2)如图(4)，过点P作PH⊥A1A3于点H，连接A1P.由题A1A3→·A6P→＝A1A3→·(A1P→－A1A6→)．因为多边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，所以A1A3→⊥A1A6→，即A1A3→·A6P→＝A1A3→·A1P→.又A1A3→·A1P→＝|A1A3→|·|A1P→|·cos∠PA1H＝|A1H→|·|A1A3→|＝3|A1H→|，且点P为梯形A3A4A5A6内(包含四条边)的任意一点，(例2(4))所以|A1H→|∈[0，3]，故A1A3→·A6P→的取值范围为[0,3]．(2019·南方凤凰台密题)如图(1)，若OA→·OB→＝0，|OA→|＝1，|OB→|＝3，点C在线段AB上运动，CD→＝CO→＋CB→2，则DC→·OC→的最小值为________．(变式(1))1564【解析】方法一：选取OA→，OB→为基向量，设OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→，其中0≤λ≤1.因为CD→＝CO→＋CB→2，则OD→＝OB→2，故DC→＝DO→＋OC→＝λOA→＋12－λOB→，所以DC→·OC→＝λOA→＋12－λOB→·[λOA→＋(1－λ)OB→]＝4λ2－92λ＋32＝4λ－9162＋1564.因为0≤λ≤1，所以DC→·OC→的最小值为1564，当且仅当λ＝916时取得最小值．方法二：由CD→＝CO→＋CB→2，知D是OB的中点，如图(2)，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0，3)，D0，32，AB所在的直线方程为y＝－3x＋3.设C(a，－3a＋3)(a∈[0,1])，则DC→·OC→＝a，－3a＋32·(a，－3a＋3)＝4a2－92a＋32＝4a－9162＋1564，所以DC→·OC→的最小值为1564.(变式(2))处理平面向量问题一般可以从三个角度进行：切入点一：“利用定义”．切入点二：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．切入点三：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．