（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 微切口2 给值求值问题中角范围的

专题一三角函数和平面向量微切口2给值求值问题中角范围的认定(1)(2019·广州高三二测改编)若α，β为锐角，且cosπ6－α＝sin2π3＋β，则α－β＝________.【思维引导】π3【解析】因为α，β为锐角，所以0απ2，0βπ2，则－π3π6－απ6，2π32π3＋β7π6，故cosπ6－α0，sin2π3＋β0，即2π32π3＋βπ，cosπ6－α＝sinπ2－π6－α＝sinπ3＋α＝sin2π3＋β，又π3π3＋α5π6，所以π3＋α＝2π3＋β，即α－β＝π3.(2)若α，β∈0，π2，cosα－β2＝32，sinα2－β＝－12，则cos(α＋β)＝________.－12【解析】因为α－β2∈－π4，π2，α2－β∈－π2，π4，所以sinα－β2＝±12，cosα2－β＝32，cosα2＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝12或1，所以cos(α＋β)＝2cos2α2＋β2－1＝－12或1.当cos(α＋β)＝1时，α＋β＝0，舍去，所以cos(α＋β)的值为－12.(2019·江苏宿豫中学质检)若α∈0，π2，β∈0，π4，且tanα＝1＋sin2βcos2β，则α－β＝________.π4【解析】tanα＝1＋sin2βcos2β＝sinβ＋cosβ2cos2β－sin2β＝sinβ＋cosβcosβ－sinβ＝1＋tanβ1－tanβ＝tanβ＋π4.因为α∈0，π2，β＋π4∈π4，π2，所以α＝β＋π4，即α－β＝π4.(2019·北京西城区模拟)已知函数f(x)＝tanx＋π4.(1)求f(x)的定义域；【思维引导】【解答】由x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ＋π4，k∈Z，所以函数f(x)的定义域是.(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cosβ－π4，求β的值．【解答】由题意得tanβ＋π4＝2cosβ－π4，所以sinβ＋π4cosβ＋π4＝2sinβ＋π4，整理得sinβ＋π42cosβ＋π4－1＝0，所以sinβ＋π4＝0或cosβ＋π4＝12.因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈π4，5π4.由sinβ＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4；由cosβ＋π4＝12，得β＋π4＝π3，即β＝π12.所以β＝π12或β＝3π4.已知tanα＝2，cosβ＝－7210，且α，β∈(0，π)．(1)求cos2α的值；【解答】因为tanα＝2，所以sinαcosα＝2，即sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，即cos2α＝15，所以cos2α＝2cos2α－1＝－35.(2)求2α－β的值．【解答】由α∈(0，π)，且tanα＝2＞1，得α∈π4，π2，所以2α∈π2，π.由(1)知cos2α＝－35，所以sin2α＝45.又因为β∈(0，π)，cosβ＝－7210∈(－1,0)，所以β∈π2，π，所以sinβ＝210，且2α－β∈－π2，π2.因为sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×－7210－－35×210＝－22，所以2α－β＝－π4.在三角求值过程中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．为了避免上述情况的发生，考生应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围．在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，当角在(0，π)时，一般选余弦函数，当角在－π2，π2时，一般选正弦函数．