（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 第2讲 解三角形与平面向量课件

专题一三角函数和平面向量第2讲解三角形与平面向量回归教材栏目导航举题固法即时评价回归教材1.(必修5P15习题1(2)改编)在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，那么A＝________.30°【解析】由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，所以c＝6－2.又由正弦定理得sinA＝asinCc＝12，且ba，所以BA.因为0°A180°，所以A＝30°.在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)2.(必修5P26本章测试7)在△ABC中，若sin2B＋sin2Csin2A＝1，则角A＝________.π2【解析】由正弦定理，得sin2B＋sin2Csin2A＝b2＋c2a2＝1，所以b2＋c2－a2＝0.又由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝0，且A∈(0，π)，所以A＝π2.在三角形中，由a＝2RsinA，sinA＝a2R可实现边角互化3.(必修5P10练习2改编)在锐角三角形ABC中，设角A，B所对的边分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A＝________.π3【解析】在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝3sinB，因为B为△ABC的内角，所以sinB≠0，所以sinA＝32.又因为△ABC为锐角三角形，所以A∈0，π2，所以A＝π3.在三角形中，a＝2RsinA(R为三角形外接圆的半径)4.(必修5P16习题1(3)改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝7，b＝43，c＝13，那么△ABC中最小的内角为________．π6【解析】因为13437，所以CBA，又因为cosC＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－132×7×43＝32，所以C＝π6.在三角形中，cosA＝b2＋c2－a22bc5.(必修5P26本章测试13)在△ABC中，已知tanA＝14，tanB＝35，若△ABC最大边的长为17，则最小边的长为________．2在△ABC中，大角对大边，小角对小边【解析】由tanA＝14，tanB＝35，可知ABπ4C，所以最大边为c＝17，最小边为a.在△ABC中，tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanA·tanB＝－1，所以C＝3π4.又cos2A＝cos2Asin2A＋cos2A＝1tan2A＋1＝1617，sinA＝1－cos2A＝1717，则由正弦定理csinC＝asinA，得a＝2.举题固法目标1正、余弦定理的直接应用(2019·衡水中学)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求角A的大小；【解答】由(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，结合正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)若2a＋b＝2c，求sinC的值．【解答】由2a＋b＝2c，得2sinA＋sinB＝2sinC，所以2sinA＋sin(A＋C)＝2sinC，所以62＋sinπ3＋C＝2sinC，所以32sinC－12cosC＝22，所以sinC－π6＝22.因为0＜C＜2π3，所以－π6＜C－π6＜π2，又sinC－π6＞0，所以0＜C－π6＜π2，所以cosC－π6＝22，所以sinC＝sinC－π6＋π6＝sinC－π6cosπ6＋cosC－π6sinπ6＝6＋24.(2019·全国卷Ⅲ)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA＋C2＝bsinA.(1)求角B的大小；【解答】由题及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA，因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【解答】由题意及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.因为△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°，由(1)知A＋C＝120°，所以30°C90°，故12a2，从而38S△ABC32，因此△ABC面积的取值范围是38，32.目标2三角函数与解三角形(2019·启东、汇龙等基地九校联考)已知函数f(x)＝sinxcosx＋3sin2x－32.(1)若x∈0，π2，求函数f(x)的值域；【解答】f(x)＝sinxcosx＋3sin2x－32＝12sin2x＋31－cos2x2－32＝sin2x－π3.因为x∈0，π2，所以2x－π3∈－π3，2π3，所以－32≤sin2x－π3≤1，故函数f(x)的值域为－32，1.(2)在△ABC中，已知C为锐角，若fC2＝－12，AB＝3，A＝π4，求边BC的长．【解答】由(1)知，fC2＝sinC－π3＝－12，因为C为锐角，所以C－π3∈－π3，π6，所以C－π3＝－π6，即C＝π6.在△ABC中，AB＝3，A＝π4，由正弦定理得，ABsinC＝BCsinA，即3sinπ6＝BCsinπ4，解得BC＝32.已知函数f(x)＝2sinx＋π3·cosx.(1)若0≤x≤π4，求函数f(x)的值域；【解答】f(x)＝(sinx＋3cosx)cosx＝sinxcosx＋3cos2x，＝12sin2x＋32cos2x＋32＝sin2x＋π3＋32，由0≤x≤π4，得π3≤2x＋π3≤5π6，故12≤sin2x＋π3≤1，所以函数f(x)的值域为1＋32，2＋32.(2)设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f(A)＝32，b＝2，c＝3，求cos(A－B)的值．【解答】由f(A)＝sin2A＋π3＋32＝32，得sin2A＋π3＝0，因为0＜A＜π2，所以π3＜2A＋π3＜4π3，所以2A＋π3＝π，即A＝π3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝7，得a＝7.由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝217.因为b＜a，所以B＜A，所以cosB＝1－sin2B＝1－2172＝277，所以cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝12×277＋32×217＝5714.目标3平面向量与解三角形(2019·盐城中学)已知向量a＝cosπ2＋x，sinπ2＋x，b＝(－sinx，3sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；【解答】由已知得a＝(－sinx，cosx)，因为b＝(－sinx，3sinx)，所以f(x)＝a·b＝sin2x＋3sinxcosx＝12(1－cos2x)＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，当2x－π6＝π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值32.(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若fA2＝1，a＝23，求△ABC面积的最大值并说明此时该三角形的形状．【解答】在△ABC中，由(1)得fA2＝sinA－π6＋12＝1，所以sinA－π6＝12，由0＜A＜π2，得A＝π3.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝12＋bc≥2bc，即bc≤12(当且仅当b＝c＝23时等号成立)，所以S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤33，所以当△ABC为等边三角形时，其面积取得最大值33.已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(3cosωx,1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值；【解答】f(x)＝m·n＝23sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π6.因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝2π2|ω|＝π.又ω＞0，所以ω＝1.(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sinB＝3sinA，求BA→·BC→的值．【解答】由(1)知f(x)＝2sin2x＋π6.设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，因为f(B)＝－2，所以2sin2B＋π6＝－2，即sin2B＋π6＝－1，由0Bπ，解得B＝2π3.因为BC＝3，即a＝3，又sinB＝3sinA，所以b＝3a，故b＝3.由正弦定理得3sinA＝3sin2π3，所以sinA＝12.由0＜A＜π3，解得A＝π6，所以C＝π6，所以c＝a＝3，所以BA→·BC→＝cacosB＝3×3×cos2π3＝－32.目标4解三角形中的“条件传递”如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3.(1)求BD的长；【解答】因为AD⊥AC，所以∠DAC＝π2.因为sin∠BAC＝223，所以sin∠BAD＋π2＝223，所以cos∠BAD＝223.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3，所以BD＝3.(2)求△ABC的面积．【解答】在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝BD2＋AD2－AB22BD·AD＝3＋9－182×3×3＝－33，所以cos∠ADC＝33，所以在Rt△DAC中，cos∠ADC＝3DC＝33，所以DC＝33，所以AC＝DC2－AD2＝332－32＝32，所以S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×32×32×223＝62.如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝45，cos∠ACB＝513，BC＝13.(1)求cosB的值；【解答】在△ABC中，cosA＝45，A∈(0，π)，所以sinA＝1－cos2A＝1－452＝35.同理可得sin∠ACB＝1213，所以cosB＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sinAsin∠ACB－cosAcos∠ACB＝35×1213－45×513＝1665.(2)求CD的长．【解答】在△ABC中，由正弦定理得AB＝BCsinAsin∠ACB＝1335×1213＝20.又AD＝3DB，所以BD＝14AB＝5.在△BCD中，由余弦定理得CD＝BD2＋BC2－2BD·BCcosB＝52＋132－2×5×13×1665＝92.即时评价1.在△ABC中，已知D，E为边BC上的点，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，B＝π2，BD∶DE＝2∶3，则tan∠BAC的值为________．755【解析】设∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝θ，BD＝2k，DE＝3k(k0)，由题设可得tanθ＝2kAB，tan2θ＝2k＋3kAB＝5kAB，则tan2θtanθ＝52，解得tanθ＝15，所以tan2θ＝52tanθ＝52，故tan∠BAC＝tan3θ＝tan(θ＋2θ)＝55＋521－510＝755.2.在△ABC中，