（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 微切口20 圆锥曲线中设点与解点问题课件

专题五解析几何微切口20圆锥曲线中设点与解点问题如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为23，C为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C的坐标为2，53，求a，b的值；【思维引导】【解答】因为椭圆的离心率为23，所以a2－b2a＝23，即b2a2＝59.①又因为点C2，53在椭圆上，所以4a2＋259b2＝1.②联立①②，解得a2＝9，b2＝5.因为a＞b＞0，所以a＝3，b＝5.所以5x22＋9y22＝5a2，512x2－a2＋9y222＝5a2，解得x2＝a4，y2＝5a43，所以直线AB的斜率为k＝y2x2＝533.(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且AB→＝12OC→，求直线AB的斜率．【解答】由(1)知b2a2＝59，所以椭圆的方程为x2a2＋9y25a2＝1，即5x2＋9y2＝5a2，则A(－a,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由AB→＝12OC→，得(x1＋a，y1)＝12x2，12y2，所以x1＝12x2－a，y1＝12y2.因为点B，C都在椭圆5x2＋9y2＝5a2上，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2.P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.(1)求椭圆C的方程；【解答】由题意知2c＝2，a2c＝2，解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)若F1P→＝λQF1→，且λ∈12，2，求OP→·OQ→的最大值．【解答】方法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P→＝(x1＋1，y1)，QF1→＝(－1－x2，－y2)．因为F1P→＝λQF1→，所以x1＋1＝λ－1－x2，y1＝－λy2，即x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2，所以－1－λ－λx222＋λ2y22＝1，x222＋y22＝1，解得x2＝1－3λ2λ，所以OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22＝－λx22－(1＋λ)x2－λy22＝－(1＋λ)x2－λ－λ2x22＝－λ21－3λ2λ2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58λ＋1λ.因为λ∈12，2，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时等号成立，所以OP→·OQ→≤12，即OP→·OQ→的最大值为12.方法二：当PQ的斜率不存在时，在x22＋y2＝1中，令x＝－1，得y＝±22，所以OP→·OQ→＝(－1)×(－1)＋22×－22＝12，此时λ＝1∈12，2.当PQ的斜率存在时，设为k，则PQ的方程是y＝k(x＋1)，由y＝kx＋1，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2，则OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k2(x1＋x2)＋k2＝(k2＋1)2k2－21＋2k2＋k2－4k21＋2k2＋k2＝k2－21＋2k2＝12－521＋2k212，所以OP→·OQ→的最大值为12，此时λ＝1∈12，2.在解析几何中，点是最基本的单位，点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程，设点意味着建构方程，解点意味着求解方程(组)，解决与方程有关的问题，是解析几何的基本问题，也是解析几何考查的基本点．解决与方程有关问题的关键在于时刻聚焦目标，确定合理路径，善于运用设而不求、设而善求等数学方法．