（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题三 不等式 微切口10 多元变量问题的处理课件

专题三不等式微切口10多元变量问题的处理(1)若正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为________．1【思维引导】【解析】因为z＝x2－3xy＋4y2(x0，y0，z0)，所以xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤14－3＝1，当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时等号成立，则z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以2x＋1y－2z＝22y＋1y－22y2＝－1y2＋2y＝－1y－12＋1，所以当y＝1时，2x＋1y－2z的最大值为1.(2)若实数a，b，c满足a＋b＝2c－1，a2＋b2＝c2＋2c－3，则ab的取值范围是_____________________．114－322，114＋322【解析】因为a2＋b2≥2ab，则2a2＋2b2≥a2＋b2＋2ab，即a2＋b22≥a＋b22，所以c2＋2c－32≥2c－122，化简得2c2－8c＋7≤0，解得4－22≤c≤4＋22.又a＋b2＝4c2－4c＋1，a2＋b2＝c2＋2c－3，解得ab＝32(c－1)2＋12，所以当c＝4－22时，ab有最小值11－624；当c＝4＋22时，ab有最大值11＋624.所以ab的取值范围是114－322，114＋322.(3)已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，那么acb＋cab－c2＋5c－2的最小值为________．10＋5【解析】因为a＞0，b＞0，所以ab＋1ab－12＝ab＋a＋b24ab－12＝ab＋a2＋2ab＋b24ab－12＝5a4b＋b4a≥52，当且仅当b＝5a时等号成立．又因为c＞2，由不等式的性质可得acb＋cab－c2＋5c－2＝cab＋1ab－12＋5c－2≥52c＋5c－2.又因为52c＋5c－2＝52(c－2)＋5c－2＋5≥10＋5，当且仅当c＝2＋2时等号成立，所以acb＋cab－c2＋5c－2的最小值为10＋5.(4)已知正数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，那么y＋zx＋y＋9y＋z的最小值为________．15【解析】设y＋zx＋y＝t(t0)，则y＋zx＋y＋9x＋2y＋zy＋z＝y＋zx＋y＋9x＋yy＋z＋9＝t＋9t＋9≥15，故y＋zx＋y＋9y＋z的最小值为15.(5)若x，y，z为正实数，则2xy＋yzx2＋5y2＋z2的最大值为________．12【解析】因为x，y，z为正实数，所以x2＋5y2＋z2＝x2＋4y2＋y2＋z2≥4xy＋2yz，所以2xy＋yzx2＋5y2＋z2≤12，当且仅当x＝2y＝2z时，2xy＋yzx2＋5y2＋z2的最大值为12.多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考的热点．解决多元变量最值问题的常见求解方法有：1.代入转换：如例(1)通过在目标式中消去变量y达到解题目的．本题到底是消去哪个变量要根据题目的特点来．一般要保留目标式的分母为单项式，这样容易分离变量．2.分离转换：运用分离变量法，将目标式中三变量问题转化为求函数值域及解对应不等式问题．3.放缩转换：如例(3)的关键是首先通过固定变量c(视a，b为主元)，然后利用放缩技巧对代数式进行两次变形，为利用基本不等式创造了条件，并结合不等式的性质，巧妙地求得了最小值．4.换元转换：如例(4)中三个正数x，y，z都不是主元，而主元为y＋zx＋y，真够“隐身”的．5.数形转换：通过几何意义来实现消元，如比值，则可考虑直线的斜率；如二元一次式，则可考虑直线的截距；如根式分式，则可考虑点到直线的距离；如根式，则可考虑两点间的距离．