（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题三 不等式 第2讲 基本不等式与恒成立、存在性问题课件

专题三不等式第2讲基本不等式与恒成立、存在性问题回归教材栏目导航举题固法即时评价回归教材1.(必修5P107本章测试3)已知x0，那么2＋3x＋4x的最小值为________．2＋43【解析】当x0时，2＋3x＋4x≥2＋23x·4x＝2＋43，当且仅当x＝233时等号成立，故所求的最小值为2＋43.双勾函数类型2.(必修5P108本章测试13改编)已知正数a，b满足a＋b＝1，那么1a＋1b的最小值为________．4【解析】由题意知1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝12时等号成立，故所求的最小值为4.注意“1”的变换3.(必修5P91习题5改编)已知函数f(x)＝x＋1x－2(x0)，那么f(x)的最大值为________．－4若a，b0，则a＋b≤－2ab【解析】因为x0，所以f(x)＝－(－x)＋1(－x)－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．4.(必修5P101习题2改编)若x0，y0，且log3x＋log3y＝1，则1x＋1y的最小值为________．233若a，b0，则a＋b≥2ab【解析】由log3x＋log3y＝1，得xy＝3，所以1x＋1y≥21x·1y＝213＝233.5.(必修5P91习题3改编)函数y＝x2＋5x2＋4的最小值为________．52基本不等式：“＝”需成立【解析】设t＝x2＋4(t≥2)，易知y＝t＋1t在[2，＋∞)上是单调增函数，所以当t＝x2＋4＝2，即x＝0时，ymin＝52.举题固法目标1利用基本不等式求最值(1)已知a0，b0，那么a2a＋b＋2b2b＋a的最大值为________．2－223【解析】设m＝2a＋b0，n＝2b＋a0，则a＝2m－n3，b＝2n－m3，所以原式＝2m－n3m＋4n－2m3n＝2－n3m－2m3n≤2－2n3m·2m3n＝2－223，当且仅当n3m＝2m3n，即n＝2m，也即b＝32＋22a时等号成立．(2)已知正实数m，n满足m＋n＝3，那么m2＋1m＋n2n＋1的最小值为________．3【解析】因为m＋n＝3，所以m2＋1m＋n2n＋1＝m＋1m＋n－1＋1n＋1＝2＋1m＋1n＋1＝2＋1m＋1n＋1m＋(n＋1)4＝2＋142＋mn＋1＋n＋1m≥2＋142＋2mn＋1·n＋1m＝3，当且仅当mn＋1＝n＋1m，即m＝2，n＝1时取等号．(1)若x，y均为正实数，且x＋2y＝4，则x2x＋2＋2y2y＋1的最小值是________．2【解析】令x＋2＝s，y＋1＝t(s2，t1)，则原题转换为：已知s＋2t＝8(s2，t1)，求(s－2)2s＋2(t－1)2t的最小值．因为(s－2)2s＋2(t－1)2t＝s＋4s－4＋2t＋2t－4＝4s＋2t＝184s＋2t(s＋2t)＝1＋ts＋s4t≥1＋2ts·s4t＝2，当且仅当s＝4，t＝2时等号成立，所以原式的最小值是2.(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，那么4x＋2＋1y＋1的最小值为________．94【解析】方法一：令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，4a＋1b＝14(a＋b)4a＋1b＝145＋4ba＋ab≥14×(5＋4)＝94，当且仅当a＝83，b＝43，即x＝23，y＝13时等号成立．方法二：(幂平均不等式)设a＝x＋2，b＝y＋1，则4x＋2＋1y＋1＝4a＋1b＝22a＋12b≥(1＋2)2a＋b＝94.方法三：(常数代换)设a＝x＋2，b＝y＋1，则4x＋2＋1y＋1＝4a＋1b＝a＋ba＋a＋b4b＝54＋ba＋a4b≥94，当且仅当a＝2b时等号成立．(3)(2019·南方凤凰台密题)已知函数f(x)＝x－sinx，若正数a，b满足f(2a－1)＋f(b－1)＝0，则2a2a＋1＋b2＋1b的最小值为________．94【解析】由题意得f(－x)＝－f(x)，且f(x)为单调增函数，最多有一个零点，所以f(2a－1)＋f(b－1)＝0，即f(2a－1)＝－f(b－1)＝f(1－b)，所以2a－1＝1－b，即2a＋b＝2，所以2a2a＋1＋b2＋1b＝2(a＋1)＋b＋2a＋1＋1b－4＝2a＋1＋1b.又2a＋1＋1b＝2a＋1＋1b·[2(a＋1)＋b]×14＝144＋1＋2ba＋1＋2a＋1b≥94，当且仅当a＝13，b＝43时取等号，所以2a2a＋1＋b2＋1b的最小值为94.目标2不等式的实际应用问题如图，三条直线型公路l1，l2，l3在点O处交汇，其中l1与l2，l1与l3的夹角都为π3，在公路l1上取一点A，且OA＝2km，过点A铺设一直线型的管道BC，其中点B在l2上，点C在l3上(l2，l3足够长)，设OB＝akm，OC＝bkm.(例2)(1)求a，b的关系式；【解答】方法一：由图可知S△AOB＋S△AOC＝S△COB，即12OB·OA·sin∠AOB＋12OC·OA·sin∠AOC＝12OB·OC·sin∠COB，所以12a×2×32＋12b×2×32＝12a×b×32，所以2(a＋b)＝ab，即2a＋2b＝1.方法二：以O为坐标原点，OC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则O(0,0)，C(b,0)，B－12a，32a，A(1，3)，由A，B，C三点共线得2a＋2b＝1.(2)试确定点B，C的位置，使得公路OB段与OC段的长度之和最小．【解答】a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)2a＋2b＝2＋2ba＋2ab＋2≥4＋22ba·2ab＝8(km)，当且仅当a＝b＝4(km)时等号成立，故当OB＝OC＝4km时，公路OB段与OC段的总长度之和最小，且最小值为8km.(2019·盐城中学)我校为了丰富师生课余活动，计划在一块形状为直角三角形的空地ABC上修建一个占地面积为S(单位：m2)的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且点P在斜边BC上，已知∠ACB＝60°，AC＝30m，AM＝xm，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37kS(k为常数)元，再把矩形AMPN以外的区域(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS元．(变式)(1)试用x表示S，并求S的取值范围；【解答】在Rt△PMC中，因为MC＝30－x，∠PCM＝60°，所以PM＝MC·tan∠PCM＝3(30－x)，所以矩形AMPN的面积为S＝PM·AM＝3x(30－x)，x∈[10,20]，则2003≤S≤2253.(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；【解答】由题知，矩形AMPN健身场地的造价T1＝37kS，△ABC的面积为4503，则草坪的造价T2＝12kS(4503－S)，由总造价T＝T1＋T2，得T＝25kS＋2163S，2003≤S≤2253.(3)试问：应如何选取AM，才能使总造价T最低？(不要求求出最低总造价)【解答】因为S＋2163S≥1263，当且仅当S＝2163S，即S＝2163时等号成立，此时3x(30－x)＝2163，解得x＝12或x＝18，所以当选取AM的长为12m或18m时总造价T最低．目标3恒成立与存在性问题(1)设a0，函数f(x)＝x＋a2x，g(x)＝x－lnx＋4，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为___________．52，＋∞【解析】问题可转化为f(x)min≥g(x)min，当x∈[1，e]时，g′(x)＝1－1x≥0，故g(x)在[1，e]上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝5.又f′(x)＝1－a2x2＝x2－a2x2，令f′(x)＝0，易知x＝a是函数f(x)的极小值．当a≤1时，f(x)min＝1＋a2，则1＋a2≥5，不成立；当1a≤e时，f(x)min＝f(a)＝2a，则2a≥5，得52≤a≤e；当ae时，f(x)min＝f(e)＝e＋a2e≥5显然成立，得a25e－e2，所以ae.综上所述，实数a的取值范围为52，＋∞.(2)设t为实数，函数f(x)＝x＋tx2＋1，若存在x∈[－1,2]，使得不等式f(x)≤2t成立，则实数t的取值范围为_______________．－24，＋∞【解析】因为存在x∈[－1,2]，使得不等式f(x)≤2t成立，即存在x∈[－1,2]，不等式x＋tx2＋1≤2t成立，即t≥x2x2＋1在x∈[－1,2]上成立．令g(x)＝x2x2＋1，当x＝0时，x2x2＋1＝0，当x0时，x2x2＋10，当x0时，x2x2＋10，所以g(x)的最小值只能在x∈[－1,0)上取得，此时g(x)＝x2x2＋1＝－1(－2x)＋－1x≥－122＝－24，当且仅当－2x＝－1x，即x＝－22时等号成立，所以g(x)＝x2x2＋1的最小值为－24，所以t的取值范围为－24，＋∞.已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝ax，其中a0，x≠0.(1)对任意的x∈[1,2]，都有f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；【解答】由题意知，f(x)－g(x)0对x∈[1,2]恒成立，即x2－2ax＋1－ax0对x∈[1,2]恒成立，即ax3＋x2x2＋1对x∈[1,2]恒成立，所以只需满足a小于φ(x)＝x3＋x2x2＋1在x∈[1,2]上的最小值即可．对φ(x)＝x3＋x2x2＋1求导，得φ′(x)＝2x4＋x2＋12x2＋120，故φ(x)在x∈[1,2]上是增函数，φ(x)min＝φ(1)＝23，所以a的取值范围是0，23.(2)对任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．【解答】由题意知x2－2ax＋1axmin＝a2，即a2x2＋14x＋1对x∈[1,2]恒成立．令φ(x)＝2x2＋14x＋1，则φ′(x)＝8x2－1＋4x4x＋120对x∈[1,2]恒成立，则φ(x)在[1,2]上是增函数，φ(x)min＝φ(1)＝45，所以a的取值范围是0，45.即时评价1.若关于x的不等式ax2－|x|＋2a0的解集为空集，则实数a的取值范围为_______________．24，＋∞【解析】设f(x)＝a|x|2－|x|＋2a，原不等式ax2－|x|＋2a0的解集为空集，即f(x)≥0恒成立．令t＝|x|，即g(t)＝at2－t＋2a在[0，＋∞)上恒有g(t)≥0，则a0，Δ≤0或a0，12a0，g(0)≥0，解得a≥24.2.(2019·南方凤凰台密题)若正数a，b满足条件a＋b＝3，则直线(a＋b)x＋aby＝0的斜率的取值范围是_____________．－∞，－43【解析】因为斜率k＝－a＋bab＝－3ab，且3＝a＋b≥2ab，所以ab≤322，所以k＝－3ab≤－43.3.已知函数f(x)＝x2－[k2＋(2－a)k＋4－a]x＋1，a，k∈R.若对任意的k＞0，有任意的x1∈[－1,0]，任意的x2∈[k，k＋2]，f(x1)≥f(x2)成立，则a的最大值是________．22－1【解析】由题意知，函数f(x)在区间[－1,0]上的最小值不小于函数f(x)在区间[k，k＋2]上的最大值．结合函数f(x)的图象可知，f(x)图象的对称轴x＝k2＋2－ak＋4－a2≥k＋22对任意的k＞0恒成立，即a≤k2＋k＋2k＋1对任意的k＞0恒成立．因为k2＋k＋2k＋1＝k＋2k＋1＝k＋1＋2k＋1－1≥22－1，当且仅当k＝2－1时