（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题七 实际应用问题 微切口25 以三角为背景的应用问题课件

专题七实际应用问题微切口25以三角为背景的应用问题(2019·通州、海门、启东期末)如图(1)，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD，已知AB＝100m，BC＝80m，以AD，BC为直径的两个半圆内种花草，其它区域种植苗木．现决定在绿地区域内修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路，其中直路MN与绿地区域边界AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为2a元/m，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为3a元/m，修建的总造价为W元，设∠NBC＝θ.(1)求W关于θ的函数关系式；(例1(1))【思维引导】•【解答】如图(2)，连接NC，AM，设AD的中点为Q，连接MQ，过点N作EN⊥BC，垂足为E.•由BC为直径知，∠BNC＝90°，又BC＝80，∠NBC＝θ，•所以BN＝80cosθ，NE＝BNsinθ＝80sinθcosθ.•因为MN∥AB，AB＝100，所以MN＝AB－2NE＝100－160sinθcosθ，(例1(2))又∠DQM＝2∠MAD＝2θ，QM＝40，所以＝40×2θ＝80θ.因为直路的工程造价为2a元/m，弧形路的工程造价为3a元/m，所以总造价为W＝2a(BN＋MN)＋3a＝2a(80cosθ＋100－160sinθcosθ)＋3a·80θ＝40a(4cosθ－8sinθcos＋6θ＋5)＝40a(4cosθ－4sin2θ＋6θ＋5)0＜θ＜π2，所以W关于θ的函数关系式为W＝40a(4cosθ－8sinθcosθ＋6θ＋5)0＜θ＜π2.(2)如何修建道路，可使修建的总造价最低？并求最低总造价．【解答】设f(θ)＝4cosθ－8sinθcosθ＋6θ＋5,0θπ2，则f′(θ)＝－4sinθ－8cos2θ＋8sin2θ＋6＝16sin2θ－4sinθ－2＝2(4sinθ＋1)(2sinθ－1)．令f′(θ)＝0，得θ＝π6，当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下表：θ0，π6π6π6，π2f′(θ)－0＋f(θ)极小值所以，当θ＝π6时，f(θ)取得最小值．此时，总造价W最低，且最低总造价为(200＋40π)a元．答：(1)W关于θ的函数关系式为W＝40a(4cosθ－8sinθcosθ＋60＋5)0＜θ＜π2；(2)当θ＝π6时，修建的总造价最低，且最低总造价为(200＋40π)a元．(2019·南方凤凰台密题)如图(1)，一艘走私船从港口A沿正东方向行驶，在港口A北偏东60°方向距离303nmile处有一艘缉私艇，走私船行驶了1小时45分钟后缉私艇获得情报，立即沿南偏东30°的方向追缉.当两船首次相距5nmile时，走私船发现缉私艇后立即调头沿原路返回，缉私艇相应调整方向继续追缉(两船改变方向时间不计)．已知走私船每小时行驶20nmile，缉私艇每小时行驶25nmile.(变式(1))(1)问：走私船从出发到发现缉私艇共行驶多少海里？(变式(2))【解答】记走私船到达点C时发现缉私艇，此时缉私艇到达点D，如图(2)，延长BD，AC交于点F，由题意知∠BAF＝30°，∠ABF＝90°，所以BF＝ABtan30°＝30nmile，AF＝ABcos30°＝60nmile.由题意知∠BAF＝30°，∠ABF＝90°，设缉私艇行驶th，则BD＝25tnmile，AC＝20t＋74nmile，在△DCF中，∠DFC＝60°，DF＝30－25t＝5(6－5t)nmile，CF＝60－20t＋74＝5(5－4t)nmile.由余弦定理得DC2＝CF2＋DF2－2CF·DFcos∠CFD，则25(6－5t)2＋25(5－4t)2－25(6－5t)(5－4t)＝25，解得t＝1t＝107舍去，此时AC＝55nmile.(2)当走私船返回时，缉私艇沿南偏西θ方向行驶可在最短时间内追上走私船，求sinθ的值．【解答】设缉私艇调整方向后经过xh后在点E处追上走私船，则DE＝25xnmile，CE＝20xnmile，由(1)可知，△DCF是等边三角形，所以∠DCE＝120°，由正弦定理得CEsin∠CDE＝DEsin∠DCE，即20xsin∠CDE＝25xsin120°，所以sin∠CDE＝235，cos∠CDE＝1－sin2∠CDE＝135，所以sinθ＝sin(∠CDE＋30°)＝sin∠CDEcos30°＋cos∠CDEsin30°＝6＋1310.答：(1)走私船从出发到发现缉私艇共行驶55nmile；(2)当走私船返回时，若缉私艇沿南偏西θ方向行驶可在最短时间内追上走私船，此时sinθ＝6＋1310.1.与解三角形有关的应用题常见的两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解．2.当用正、余弦定理去解决具体的实际问题时，应关注图形的特点，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，再利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式，运用求导或不等式的性质寻找最值．