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第3节机械能守恒定律考点1机械能守恒的理解和判断1．重力势能(1)重力做功的特点①重力做功与_______无关，只与始末位置的__________有关．②重力做功不引起物体________的变化．(2)重力势能①概念：物体由于________而具有的能．②表达式：Ep＝________．路径高度差机械能被举高mgh③标矢性：重力势能是_____，正、负分别表示比0值大、比0值小．④系统性：重力势能是__________这一系统所共有的．⑤相对性：Ep＝mgh中的h是_______________的高度．(3)重力做功与重力势能变化的关系①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就_______；重力对物体做负功，重力势能就______．②定量关系：重力对物体做的功_______物体重力势能增量的负值，即WG＝－ΔEp＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2.③重力势能的变化量是绝对的，与零势能面的选择无关．标量物体和地球相对于零势能面减少增加等于2．弹性势能(1)概念：物体由于发生___________而具有的能．(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量______，劲度系数______，弹簧的弹性势能越大．(3)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝_______．弹性形变越大越大－ΔEp3．机械能守恒定律(1)______和______统称为机械能，即E＝Ek＋Ep，其中势能包括_________和_________．(2)机械能守恒定律内容：在只有___________________做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能_____________．势能动能重力势能弹性势能重力(或弹簧弹力)保持不变例1某娱乐项目中，参与者抛出一小球去撞击触发器，从而进入下一关．现在将这个娱乐项目进行简化，假设参与者从触发器的正下方以速率v竖直上抛一小球，小球恰好击中触发器．若参与者与触发器间的竖直距离不变，沿A、B、C、D四个不同的光滑轨道分别以速率v抛出小球，如图所示．则小球能够击中触发器的可能是()【解析】小球以v竖直上抛的最大高度为h，到达最大高度时速度为0；小球不能上升到最高点就做斜抛运动了，不能击中触发器，故A错误；小球离开斜面后做斜抛运动了，不能击中触发器，故B错误；根据机械能守恒定律可知，小球上升到最高点时速度刚好等于零，可以击中触发器，故C正确；在双轨中做圆周运动时到达最高点的速度可以为零，所以小球可以上升到最高点并击中触发器，故D正确．【答案】CD【小结】判断机械能是否守恒的方法(1)利用机械能的定义判断：分析动能与势能的和是否变化．如：匀速下落的物体动能不变，重力势能减少，物体的机械能必减少．(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，机械能守恒．(3)用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则系统的机械能守恒．(4)对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题机械能一般不守恒，除非题中有特别说明或暗示．1．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是()A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C．做变速运动的物体机械能可能守恒D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒【解析】做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；合外力做功不为零，机械能可能守恒，如只有重力做功时，机械能守恒，D错误、C正确．C2．(多选)如图(a)所示，小球的初速度为v0，沿光滑斜面上滑，能上滑的最大高度为h，图(b)中四个小球的初速度均为v0.在图A中，小球沿14圆弧轨道运动，轨道半径大于h；在图B中，小球沿半圆轨道运动，轨道直径大于h；在图C中，小球沿圆轨道运动，轨道直径等于h；在图D中，小球固定在长为h2的轻杆的一端，随轻杆绕O点转动．已知小球均从最低点开始运动，忽略一切摩擦阻力，则小球上升的高度能达到h的有()AD【解析】A.小球沿14圆弧轨道运动，轨道半径大于h，小球上升h高度时，速度为零，未超过14圆周，A正确；B.小球沿半圆轨道运动，轨道直径大于h，小球上升h高度时，速度为零，超过四分之一圆周，要想做完整的圆周运动，小球在h高度处速度不能为零，可知小球还未上升到h高度处就已离开轨道，B错误；C.小球沿圆轨道运动，轨道直径等于h，在最高点有最小速度，可知小球未到达最高点就已离开轨道，C错误；D.小球固定在长为h2的轻杆的一端，随轻杆绕O点转动，在最高点的最小速度为零，小球能够达到最高点，D正确．考点2单物体机械能守恒问题机械能守恒定律的表达式及对比观点表达式物理意义注意事项守恒观点E1＝E2，Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等应用时要选零势能参考平面且初末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔEk＝－ΔEp表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，不用选零势能面，可直接计算初末状态的势能差转移观点ΔEA＝－ΔEB若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题，不用选零势能参考平面例2如图，一个质量为0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)．已知圆弧的半径R＝0.3m，θ＝60°，小球到达A点时的速度v＝4m/s.(取g＝10m/s2)求：(1)小球做平抛运动的初速度v0；(2)P点与A点的水平距离和竖直高度；(3)小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力．【解析】(1)v0＝vx＝vcosθ＝4×cos60°＝2m/s(2)vy＝vsinθ＝4×sin60°＝23m/s由平抛运动规律得：v2y＝2ghvy＝gtx＝v0th＝0.6mx＝0.43m≈0.69m(3)取A点为重力势能的零点，由机械能守恒定律得：12mv2＝12mv2C＋mg(R＋Rcosθ)代入数据得：vC＝7m/s由圆周运动向心力公式得：NC＋mg＝mv2CR代入数据得：NC＝8N由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小N′C＝NC＝8N，方向竖直向上．【小结】1.用机械能守恒定律解题的基本思路2．机械能守恒定律的应用往往与曲线运动综合起来，其联系点主要在初末状态的速度与圆周运动的动力学问题有关、与平抛运动的初速度有关．3．在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A机械能守恒C．丙图中小球机械能守恒D．丁图中小球机械能守恒A【解析】甲图中，只有重力对小球做功，机械能守恒，乙图中，杆对A球做负功，丙图中，绳子绷紧时有机械能损失，丁图中绳子拉力对小球做负功，所以乙、丙、丁图中小球机械能都不守恒．4．如图，在竖直平面内有由14圆弧AB和12圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为R2.一小球在A点正上方与A相距R4处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．(1)求小球在B、A两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．【解析】(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mgR4①设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg5R4②由①②式得EkBEkA＝5③(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的压力N应满足N≥0④设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝mv2CR2⑤由④⑤式得，vC应满足mg≤m2v2CR⑥由机械能守恒定律得mgR4＝12mv2C⑦由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．考点3多物体机械能守恒问题1．多物体机械能守恒问题的分析方法(1)对多个物体组成的系统先要判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒；(2)找出用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系；(3)列机械能守恒方程时一般运用ΔEk＝－ΔEp的形式．2．多物体机械能守恒问题的三点注意(1)正确选取研究对象；(2)合理选取物理过程；(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式计算．例3如图所示，一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置，C为圆柱最高点，两小球P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为mP＝m，mQ＝4m，水平挡板到水平面EF的距离为h＝2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球P到达最高点C时剪断细线，小球Q与水平面EF碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为g，不计空气阻力，取π≈3.求：(1)小球P到达最高点C时的速度vC；(2)小球P落到挡板AB上时的速率v1；(3)小球Q反弹后能上升的最大高度hmax.【解析】(1)取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面，则在小球P到达最高点C的过程中，系统满足机械能守恒，有－mQg×14×2πR＋mPgR＋12(mP＋mQ)v2C＝0，解得vC＝2gR.(2)因vCgR，所以剪断细线后小球P做平抛运动，由机械能守恒定律知mPgR＋12mPv2C＝12mPv21，解得v1＝2gR.(3)剪断细线后，小球Q做竖直下抛运动，反弹后做竖直上抛运动到最高点，满足机械能守恒，则有－mQg×14×2πR＋12mQv2C＝－mQg(h－hmax)，解得hmax＝32R.【小结】1.本题中剪断细线前，细线对两小球均做功，两小球的机械能均不守恒，但取两小球和细线为系统，则只有重力做功，满足机械能守恒．剪断细线后两小球的机械能均守恒，因此运用机械能守恒定律解题时，一定要注意研究对象的选择．2．系统机械能守恒时，内部的相互作用力分为两类：(1)刚体产生的弹力：如轻绳产生的弹力，斜面产生的弹力，轻杆产生的弹力等．(2)弹簧产生的弹力：系统中有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转化．在前两种情况中，轻绳的拉力、斜面的弹力、轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能守恒．虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒．3．对系统应用机械能守恒定律列方程的角度：(1)系统初态的机械能等于末态的机械能；(2)系统中某些物体减少的机械能等于其他物体增加的机械能．5．(多选)如图所示，带有挡板的光滑斜面固定在水平面上，斜面倾角θ＝30°.质量均为1kg的A、B两物体用轻质弹簧拴接在一起，弹簧的劲度系数为5N/cm，质量为2kg的物体C用细线通过光滑的轻质滑轮与物体B连接．开始时A、B均静止在斜面上，A紧靠在挡板处．用手托住C，使细线刚好被拉直．现把手拿开，让C由静止开始运动，从C开始运动到A刚要离开挡板的过程中，下列说法不正确的是(g取10m/s2)()A．初状态弹簧的压缩量为1cmB．末状态弹簧的压缩量为1cmC．物体B、C与地球组成的系统机械能守恒D．物体C克服绳的拉力所做的功为0.2JBC【解析】开始弹簧压缩量x1＝mBgsin30°k＝1cm，末状态弹簧拉伸量x2＝mAgsin30°k＝1cm，A对，B错；该过程中，弹簧对B、C系统先做正功，后做负功，故机械能守恒，C错；对B、C系统，由动能定理，mCg(x1＋x2)－mBg(x1＋x2)sin30°＝12(mB＋mC)v2；对C，由动能定理，mCg(x1＋x2)