搜索
专题突破(十)电磁感应中的导轨＋杆模型“导轨＋杆”是电磁感应中一类常见的模型，它可以把力和电、磁融于一体，考查受力分析、牛顿定律、功能关系，能量守恒、动量定理、动量守恒定律、安培力、恒定电流等知识点，综合性较强．导轨＋杆模型具有以下特点：1．可分为单杆型和双杆型，放置的方式可分为水平、竖直和倾斜．2．除了杆切割磁感线产生感应电动势之外，模型中可以有电源，也可以没有电源．3．安培力是变力，杆一般做变加速运动，速度稳定时满足受力平衡．4．杆除了受到安培力之外，可以受其他外力，也可以不受外力作用．在这一模型中，由于感应电流与杆切割磁感线运动的加速度有相互制约的关系，故导体一般不是做匀变速运动，而是经历一个动态变化过程再趋向于一个稳定状态，分析这一动态过程进而确定最终状态是解决这类问题的关键．再利用动力学观点分析安培力、合力的变化对运动状态的影响，利用功能关系、能量守恒分析各种形式的能量之间的相互转化及总能量的守恒，此类问题就能迎刃而解了．例1如图所示，水平桌面上放着一对平行金属导轨，左端与一电源相连，中间还串有一开关S.导轨上放着一根金属棒ab，空间存在着垂直导轨平面向下的匀强磁场．已知两导轨间距为d，导轨电阻及电源内阻均不计，ab棒的电阻为R，质量为m，棒与导轨间摩擦不计．闭合开关S，ab棒向右运动并从桌边水平飞出，且飞出前的瞬间电路中电流恰好为零．已知桌面离地高度为h，金属棒落地点的水平位移为s.下面的结论中正确()A．开始时ab棒离导轨右端的距离L＝s24hB．磁场力对ab棒所做的功W＝ms2g8hC．电源电动势为E＝Bdsg2hD．ab棒在导轨上运动时间t大于mRB2d2【解析】开始时ab棒受到安培力向右加速，导体棒运动就会产生感应电动势使电流减小，导体棒在做变速运动，离右端的距离无法求出，所以A项错误；根据平抛运动可以求出离开桌面时的速度v＝s2hg＝sg2h，根据动能定理可知W＝12mv2＝ms2g4h，所以B项错误；棒飞出前的瞬间电流恰好为零，则E＝Bdv＝Bdsg2h，所以C项正确；若不考虑棒切割磁感线产生感应电动势则棒做匀加速运动，a＝BIdm，I＝ER，t′＝va，解得t′＝mRB2d2，由于感应电动势影响，tt′，D对．【答案】CD例2如图甲所示，两根间距L＝1.0m、电阻不计的足够长平行金属导轨ab、cd水平放置，一端与阻值R＝2.0Ω的电阻相连．质量m＝0.2kg的导体棒ef在恒定外力F作用下由静止开始运动，已知导体棒与两根导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为f＝1.0N，导体棒电阻为r＝1.0Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场B中，导体棒运动过程中加速度a与速度v的关系如图乙所示(取g＝10m/s2)．求：(1)当导体棒速度为v时，棒所受安培力F安的大小(用题中字母表示)；(2)磁场的磁感应强度B；(3)若ef棒由静止开始运动距离为s＝6.9m时，速度已达v′＝3m/s.求此过程中产生的焦耳热Q.【解析】(1)当导体棒速度为v时，导体棒上的电动势为E，电路中的电流为I.由法拉第电磁感应定律E＝BLv由闭合电路欧姆定律I＝ER＋r导体棒所受安培力F＝BIL联合解得：F＝B2L2vr＋R(2)由图可以知道：导体棒开始运动时加速度a1＝5m/s2，初速度v0＝0，导体棒中无电流．由牛顿第二定律知F－f＝ma计算得出：F＝2N由图可以知道：当导体棒的加速度a＝0时，开始以v＝3m/s做匀速运动此时有：F－f－F安＝0解得：B＝1T(3)设ef棒此过程中，产生的热量为Q，由功能关系知：(F－f)s＝Q＋12mv′2代入数据计算得出Q＝6.0J例3如图所示，P1Q1P2Q2和M1N1M2N2为水平放置的两足够长的光滑平行导轨，整个装置处在竖直向上、磁感应强度大小B＝0.4T的匀强磁场中，P1Q1与M1N1间的距离为L1＝1.0m，P2Q2与M2N2间的距离为L2＝0.5m，两导轨电阻可忽略不计．质量均为m＝0.2kg的两金属棒ab、cd放在导轨上，运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与导轨形成闭合回路．已知两金属棒位于两导轨间部分的电阻均为R＝1.0Ω；金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2，且与导轨间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g＝10m/s2.(1)在t＝0时刻，用垂直于金属棒的水平外力F向右拉金属棒cd，使其从静止开始沿导轨以a＝5.0m/s2的加速度做匀加速直线运动，金属棒cd运动多长时间金属棒ab开始运动？(2)若用一个适当的水平外力F0(未知)向右拉金属棒cd，使其速度达到v2＝20m/s后沿导轨匀速运动，此时金属棒ab也恰好以恒定速度沿导轨运动，求金属棒ab沿导轨运动的速度大小和金属棒cd匀速运动时水平外力F0的功率；(3)当金属棒ab运动到导轨Q1N1位置时刚好碰到障碍物而停止运动，并将作用在金属棒cd上的水平外力改为F1＝0.4N，此时金属棒cd的速度变为v0＝30m/s，经过一段时间金属棒cd停止运动，求金属棒ab停止运动后金属棒cd运动的距离．【解析】(1)设金属棒cd运动t时间金属棒ab开始运动，根据运动学公式可知，此时金属棒cd的速度v＝at金属棒cd产生的电动势E2＝BL2v则通过整个回路的电流I2＝E22R＝BL2at2R金属棒ab所受安培力FA1＝BI2L1＝B2L1L2at2R金属棒ab刚要开始运动的临界条件为FA1＝μmg联立解得t＝2s(2)设金属棒cd以速度v2＝20m/s沿导轨匀速运动时，金属棒ab沿导轨匀速运动的速度大小为v1，根据法拉第电磁感应定律可得E＝BL2v2－BL1v1此时通过回路的电流I＝E2R＝B（L2v2－L1v1）2R金属棒ab所受安培力FA＝BIL1＝B2L1（L2v2－L1v1）2R＝μmg，解得v1＝5m/s以金属棒cd为研究对象，则有F0＝μmg＋BL2I＝0.6N水平外力F0的功率为P0＝F0v2＝12W(3)对于金属棒cd根据动量定理得(F1－μmg－BL2I－)Δt＝0－mv0设金属棒ab停止运动后金属棒cd运动的距离为x，根据法拉第电磁感应定律得E－＝ΔΦΔt＝BL2xΔt根据闭合电路欧姆定律I－＝E－3R2联立解得：x＝3mv0R2B2L22＝225m1．如图所示，间距为L的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向里、大小为B的匀强磁场．在导轨上端接一电容为C的电容器，一质量为m的金属棒ab与导轨始终保持良好接触，由静止开始释放，释放时ab距地面高度为h，(重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不计)在金属棒下滑至地面的过程中，下列说法正确的是()A．若h足够大，金属棒最终匀速下落B．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为mghC．金属棒做匀加速运动，加速度为mgmg＋C2B2L2D．金属棒运动到地面时，电容器储存的电能为mghCB2L2m＋CB2L2D【解析】若金属棒匀速下落，产生的感应电动势恒定不变，电容器两端的电压不变，回路中就没有了感应电流，就不会受安培力，与匀速下落相矛盾，因此金属棒不会匀速下落，A错误；根据能量守恒，下落的过程有一部分重力势能变成电能，还有一部分变成了金属棒的动能，因此电容器储存的电能不可能为mgh，B错误；金属棒速度增大，产生的电动势增大，电容器的带电量增加，有充电电流I，I＝ΔQΔt＝CBlΔvΔt＝CBla，由牛顿第二定律，mg－BIl＝ma，∴a＝mgm＋CB2L2，可见，棒做匀加速直线运动，C错，落地时v＝2ah.根据能量守恒，电容器储存的电能为mgh－12mv2＝mghCB2L2m＋CB2L2，D正确．2．如图所示，间距为L的两根平行金属导轨弯成“L”形，竖直导轨面与水平导轨面均足够长，整个装置处于竖直向上大小为B的匀强磁场中．质量均为m、阻值均为R的导体棒ab、cd均垂直于导轨放置，两导体棒与导轨间动摩擦因数均为μ，当导体棒cd在水平恒力作用下以速度v0沿水平导轨向右匀速运动时，释放导体棒ab，它在竖直导轨上匀加速下滑．某时刻将导体棒cd所受水平恒力撤去，经过一段时间，导体棒cd静止，此过程流经导体棒cd的电荷量为q(导体棒ab、cd与导轨间接触良好且接触点及金属导轨的电阻不计，已知重力加速度为g)，则下列判断错误的是()AA．导体棒cd受水平恒力作用时流经它的电流I＝BLv0RB．导体棒ab匀加速下滑时的加速度大小a＝g－μB2L2v02mRC．导体棒cd在水平恒力撤去后它的位移为s＝2RqBLD．导体棒cd在水平恒力撤去后它产生的焦耳热为Q＝14mv20－μmgRqBL【解析】cd切割磁感线产生感应电动势为E＝BLv0，根据闭合电路欧姆定律得：I＝E2R＝BLv02R，故A错误．对于ab棒：根据牛顿第二定律得：mg－f＝ma，又f＝μN，N＝BIL，联立解得，加速度大小为a＝g－μB2L2v02mR，故B正确．对于cd棒，根据感应电量公式q＝ΔΦR总得：q＝BLs2R，则得，s＝2RqBL，故C正确．设导体棒cd在水平恒力撤去后产生的焦耳热为Q，由于ab的电阻与cd相同，两者串联，则ab产生的焦耳热也为Q.根据能量守恒得：2Q＋μmgs＝12mv20，又s＝2RqBL，解得：Q＝14mv20－μmgRqBL，故D正确．本题选错误的，故选A.3．如图所示，MN、PQ为两根间距不均的金属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中，导轨的一端接阻值为10Ω的电阻R1和电流表，另一端接阻值为5Ω的电阻R2.质量为m＝0.1kg的金属棒放在导轨ab处，以初速度v0＝8m/s滑到导轨的a′b′处，历时t＝0.08s．导轨在ab处的间距L1＝0.5m，在a′b′处的间距L2＝1.0m．若金属棒滑动时始终与导轨接触良好，电流表的示数保持不变，不计棒与导轨间的摩擦以及棒和导轨的电阻．求：(1)金属棒在导轨a′b′处的速度；(2)电流表的示数；(3)匀强磁场的磁感应强度．【解析】(1)由金属棒滑动过程中电流表示数不变可知棒在ab处和a′b′处产生的感应电动势相等，即BL1v0＝BL2v′解得金属棒在a′b′处的速度为：v′＝12v0＝4m/s(2)设流过金属棒的电流为I，金属棒运动过程中只有安培力做功，由能量关系有I2R总t＝12mv20－12mv′2而R总＝R1R2R1＋R2＝103Ω，联立解得：I＝3A，电流表的示数：IA＝R2R1＋R2·I＝515×3A＝1A(3)根据BLabv0＝I1R1代入数据解得：B＝2.5T.