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专题突破(二)动态平衡问题1．动态平衡通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”这个词语．2．处理动态平衡问题的一般思路(1)平行四边形定则是基本方法，但也要根据实际情况采用不同的方法．若出现直角三角形，常用三角函数表示合力与分力的关系．(2)图解法分析物体动态平衡问题时，一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化．(3)用力的矢量三角形分析力的最小值问题的规律：①若已知F合的方向、大小及一个分力F1的方向，则另一个分力F2的最小值的条件为F1⊥F2；②若已知F合的方向及一个分力F1的大小、方向，则另一个分力F2的最小值的条件为F2⊥F合．3．求解动态平衡问题的几种方法方法步骤解析法①选某一状态对物体进行受力分析②将物体受的力按实际效果分解或正交分解③列平衡方程得出未知量与已知量的关系式④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况图解法①选某一状态对物体进行受力分析②根据平衡条件画出平行四边形或矢量三角形③根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角变化情况④确定未知量大小、方向的变化相似三角形法①选取某一状态对物体进行受力分析②根据对物体的受力分析作出矢量三角形③找出与矢量三角形相似的几何三角形④利用几何知识确定未知量的变化一、解析法例1如图所示，MON是固定的光滑绝缘直角杆，MO沿水平方向，NO沿竖直方向，A、B为两个套在此杆上的带有同种电荷的小球，用一指向竖直杆的水平力F作用在A球上，使两球均处于静止状态．现将A球向竖直杆方向缓慢移动一小段距离后，A、B两小球可以重新平衡．则后一种平衡状态与前一种平衡状态相比较，下列说法正确的是()A．A、B两小球间的库仑力变大B．A、B两小球间的库仑力变小C．A球对MO杆的压力变大D．A球对MO杆的压力不变【解析】对B球受力分析，受重力Mg、静电力F1、杆对其向左的支持力N2，如图；根据平衡条件，有x方向：F1sinθ＝N2，y方向：F1cosθ＝Mg.由上述得到F1＝Mgcosθ.由于新位置两球连线与竖直方向夹角θ变小，sinθ变小，cosθ变大，由上式知，静电力F1变小，故B正确，A错误；对AB整体分析，水平杆对A球的支持力等于两个球的重力之和，则大小不变，A球对MO杆的压力不变，故C错误，D正确．【答案】BD1．半圆柱体P放在粗糙的水平面上，有一挡板MN与半圆柱不接触，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，如图是这个装置的截面图，整个装置处于静止状态．若用外力缓慢地移动挡板MN，并保持挡板MN始终与两圆心的连线平行，在MN到达水平位置前，发现P始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是()A．MN对Q的弹力逐渐增大B．地面对P的弹力逐渐增大C．P、Q间的弹力先减小后增大D．地面给P的摩擦力方向向左A【解析】分析Q受力如图甲，根据平衡条件有N2＝mQgcosθ，N1＝mQgsinθ，依题意有OQ连线与水平面的夹角从锐角一直减小到0，则N1减小，N2增大，A对、C错．对P、Q整体分析受力如图乙，根据平衡条件有f＝N2sinθ，(mP＋mQ)g＝N2cosθ＋N，N2增大，cosθ增大，则N减小，f方向向右，B、D均错．2．(多选)有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN，摩擦力f和轻绳的弹力F的变化情况是()A．FN不变，f变大B．FN不变，f变小C．F变大，f变大D．F变小，f变小BD【解析】对小环Q受力分析，受到重力mg、支持力N和拉力F，如图：根据共点力平衡条件得：F＝mgcosθ，N＝mgtanθ；再对P、Q整体受力分析，受到总重力2mg、OA杆支持力FN、向右的静摩擦力f、BO杆的支持力N，如图：根据共点力平衡条件，有：f＝N，FN＝2mg，当P环向左移一小段距离，角度θ变小，根据N＝mgtanθ，可知N变小，故静摩擦力f变小，支持力FN不变；根据F＝mgcosθ，可知F变小，故B、D正确，A、C错误．二、图解法例2如图所示，小球用细绳系住静止在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上缓慢由A移到D过程中，细绳的拉力将()A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大【解析】以小球为研究对象，小球受到重力、细绳的拉力和斜面的支持力，三力平衡，根据平衡条件知拉力与支持力的合力与重力mg大小相等，方向相反，保持不变．作出三个位置拉力与支持力的合成的示意图，通过力的合成图可以看出当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，拉力F先变小后变大，故D正确．【答案】D例3半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN.在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图．现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止．则在此过程中，下列说法中正确的是()A．MN对Q的弹力逐渐减小B．地面对P的摩擦力逐渐增大C．P、Q间的弹力先减小后增大D．Q所受的合力逐渐增大【解析】Q的受力情况如图甲所示，F1表示P对Q的弹力，F2表示MN对Q的弹力，F2的方向水平向左保持水平，F1的方向顺时针旋转，由平行四边形的边长变化可知：F1与F2都逐渐增大，A、C错误；由于挡板MN缓慢移动，Q处于平衡状态，所受合力为0，D错误；对P、Q整体受力分析，如图乙所示，由平衡条件得，Ff＝F2＝mgtanθ，由于θ不断增大，故Ff不断增大，B正确．【答案】B【题后反思】从上例我们可以看出，图解法适用的题目一般具有以下特点：1.定性分析(或定量解某些极值)某些力的变化趋势；2.一般适用于三力平衡，某些特殊情况下可以把某两个力的合力当做矢量三角形的其中一条边(如支持力与滑动摩擦力的合力)；3.一个力大小、方向都不变(一般是重力)，另一个力大小变化、方向不变，第三个力大小、方向均变化．3．(多选)如图所示，质量为M的物体用OA和OB两根等长的绳子悬挂在半弧形的支架上，B点固定不动，A点则由顶点C沿圆弧向D移动(α为绳OB与竖直方向的夹角)，在此过程中()A．绳子OB的张力一直增大B．绳子OA的张力将一直增大C．绳子OA的张力将先减小后增大D．绳子OB的张力将先增大后减小AC【解析】对O点受力分析，抓住两根绳的合力等于物体的重力，大小和方向都不变，OB绳拉力方向不变，根据平行四边形定则得，如图，知OA绳上拉力大小先减小后增大，OB上的拉力一直增大，A、C正确．4．如图所示，小球靠在竖直固定挡板上与斜面保持静止，不计摩擦，当缓慢增大斜面的倾角时，小球对挡板的压力FN1和小球对斜面的压力FN2的变化情况是()A．FN1变大，FN2变大B．FN1变大，FN2变小C．FN1变小，FN2变小D．FN1变小，FN2变大A【解析】按照力的分解原则，将小球的重力G沿垂直于挡板和垂直于斜面方向分解为F1和F2，则FN1＝F1，FN2＝F2，如图所示，由于斜面倾角α在缓慢变大，故力F2在缓慢地改变大小和方向，而F1方向不变，大小缓慢变化，但无论如何变化，F1与F2、F1′与F2′、F1″与F2″……的合力始终为重力G(对角线一定)，由图可知，倾角α增大时，FN1、FN2均是增大，故A正确．5．(多选)如图所示，碗的竖直截面可以看成一段圆弧，一只甲壳虫从碗底P缓慢爬向M的过程中，下列说法正确的是()A．碗对它的支持力不断减小B．碗对它的静摩擦力不断减小C．甲壳虫所受的合力不断减小D．甲壳虫所受的合力保持不变AD【解析】甲壳虫受重力G，支持力FN和静摩擦力Ff作用而平衡，三力首尾相接组成闭合三角形，在P点，FN＝G，因为FN⊥Ff，故FN的箭头从“最高点”沿半圆弧逆时针移动，故可看出Ff增大，FN减小，其合力大小等于G，故A、D对，B、C错．三、相似三角形法例4图示为某海上救援船的机械臂工作示意图．机械臂AB、BC由高强度的轻质材料制成，A端固定一个定滑轮，BC可以绕B自由转动．钢丝绳的一端固定在C点，另一端缠绕于可以转动的立柱D上，其质量可以忽略不计．在某次转移货物的过程中，机械臂AB始终保持竖直．下列说法正确的是()A．保持BC不动，使AB缓慢伸长，则BC所受的力增大B．保持AB不动，缓慢转动立柱D，使CA变长，则BC所受的力大小保持不变C．保持AB不动，使BC缓慢伸长，则BC所受的力增大D．保持AB不动，使BC缓慢伸长且逆时针转动，BC所受的力增大【解析】作出C点受力的矢量三角形，由矢量三角形与几何三角形相似，有：FBCG＝BCAB，∴FBC＝BCABG，A错、C对、D对、B对．【答案】BCD【题后反思】用相似三角形法解决动态平衡问题的关键是构建一对相似的“矢量三角形”与“几何三角形”，往往利用某些力与绳、杆、圆半径、竖直线等平行或共线找到相等的角，构建相似三角形．例5固定在水平面上的光滑半球半径为R，球心O的正上方C处固定一个光滑定滑轮(大小可忽略)，细线一端拴一小球(可视为质点)置于半球面上A点，另一端绕过定滑轮，如图所示，现将小球缓慢地从A点拉向B点，则此过程中小球对半球的压力大小FN、细线的拉力大小FT的变化情况是()A．FN不变，FT不变B．FN不变，FT变大C．FN不变，FT变小D．FN变大，FT变小【解析】小球受力如图所示，根据平衡条件知，小球所受支持力FN和细线拉力FT的合力F与重力是一对平衡力，即F＝G，根据几何关系知，力三角形FAFN与几何三角形COA相似，设滑轮到半球顶点B的距离为h，线长AC为l，则有FNR＝GR＋h＝FTl，由于小球从A点移向B点的过程中，G、R、h均不变，l减小，故FN大小不变，FT减小，选项C正确．【答案】C6．如图所示，A、B是质量相同的带等量同种电荷的小球，悬线长均为L，B球固定．平衡时，A球受的拉力为F，A球在距B球x处，现其他条件不变，改变A的质量，使A球在距B球x2处再平衡，则A球受到绳的拉力为()A．FB．2FC．4FD．8FD【解析】小球受到重力mg、库仑力F库和绳的拉力F，由平衡条件得知，mg、F库的合力与F大小相等、方向相反，作出mg、F库的合力如图，由三角形相似得F库x＝FL，得F＝F库xL根据库仑定律得知，当A、B间距离x变化为12x时，库仑力F库变为原来的4倍，L不变，则得F变为原来的8倍，即得后来绳的拉力大小为8F.故选D.7．固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m的小球套在圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是()A．F不变，FN增大B．F不变，FN减小C．F减小，FN不变D．F增大，FN减小C【解析】小球沿圆环缓慢上移可看做静止，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由图可知△OAB∽△GFA即：GR＝FAB＝FNR，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确．8．(多选)如图所示，在半圆形光滑凹槽内，两轻质弹簧的下端固定在槽的最低点，另一端分别与小球P、Q相连．已知两球在图示P、Q位置静止．O′PO′Q，则下列说法中正确的是()A．若两球质量相同，则P球对槽的压力较小B．若两球质量相同，则两球对槽的压力大小相等C．若P球的质量大，则O′P弹簧的劲度系数大D．若P球的质量大，则O′P弹簧的弹力大BD【解析】对两小球受力分析如图所示，都是受重力、支持力和弹簧的弹力三个力，两小球静止，受力平衡，根据平行四边形定则作平行四边形，由几何关系可知：ΔQG′QNQ∽ΔOO′Q，ΔPG′PNP∽ΔOO′P.NQGQ＝OQOO′＝RR＝1，NPGP＝OPOO′＝RR＝1，即支持力始终与重力相等，若两球质量相