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物理观念篇带电粒子在磁场运动的多解问题1．带电粒子在磁场中运动的多解问题的处理方法(1)认真读题，逐一确认形成多解的各种因素．(2)画出粒子运动的可能轨迹，并确定其圆心、半径的可能情况．(3)对于圆周运动的周期性形成的多解问题，要注意系列解出现的可能，要注意每种解出现的条件，并寻找相关的通项公式．题型一磁场方向不确定形成的多解2．带电粒子在交变磁场中运动的多解问题分析带电粒子在交变磁场中的运动，首先必须明确粒子运动的周期与磁场变化的周期之间的关系，正确作出粒子在磁场中随磁场变化的运动轨迹图，然后灵活运用粒子做圆周运动的规律进行解答，要特别注意对题目中隐含条件的挖掘，分析不确定因素可能形成的多解，力求使解答准确、完整．【典例1】(2019·江苏徐州模拟)如图所示，M、N为水平放置的彼此平行的不带电的两块平板，板的长度和板间距离均为d，在两板间有垂直于纸面方向的匀强磁场，在距上板d3处有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)，以初速度v0水平射入磁场，若使粒子不能射出磁场，求磁场的方向和磁感应强度B的大小范围．解析第一种情况当磁场方向垂直纸面向里时，若粒子从左侧上板边缘飞出，则粒子做圆周运动的半径R1＝12·d3＝d6，由qv0B1＝mv20R1得B1＝6mv0qd；若粒子从右侧上板边缘飞出，其运动轨迹如图甲所示，设粒子做圆周运动的半径为R2，则R22＝R2－d32＋d2，解得R2＝53d，由qv0B2＝mv20R2得B2＝3mv05qd，所以当磁场方向垂直纸面向里时，粒子不能射出两板间的磁感应强度的范围为3mv05qd＜B＜6mv0qd.第二种情况当磁场方向垂直纸面向外时，若粒子从左侧下板边缘飞出，则粒子做圆周运动的半径R3＝12·23d＝d3，由qv0B3＝mv20R3得B3＝3mv0qd；若粒子从右侧下板边缘飞出，其运动轨迹如图乙所示，设粒子做圆周运动的半径为R4，则R24＝R4－23d2＋d2，解得R4＝1312d，由qv0B4＝mv20R4得B4＝12mv013qd，所以当磁场方向垂直纸面向外时，粒子不能射出两板间的磁感应强度的范围为12mv013qd＜B＜3mv0qd.答案磁场垂直纸面向里时，3mv05qd＜B＜6mv0qd磁场垂直纸面向外时，12mv013qd＜B＜3mv0qd1．(2019·江西吉安期末)(多选)如图所示为长为2L、板间距离为L的水平极板P、Q，现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处，以速度v0平行极板射入，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法有()(一)A．在极板间加垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度B4mv017qLB．在极板间加垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度B4mv0qLC．在极板间加垂直极板指向P极板的匀强电场，电场强度Emv204qLD．在极板间加垂直极板指向Q极板的匀强电场，电场强度E17mv204qL答案ABC解析如图甲所示，由题意知，带正电的粒子从左边射出磁场，其在磁场中圆周运动的半径RL4，带正电的粒子从右边射出磁场，其在磁场中圆周运动的半径R17L4，粒子在磁场中做圆周运动的洛伦兹力提供向心力，即qvB＝mv20R，可得粒子做圆周运动的半径R＝mv0qB，所以mv0qBL4或mv0qB17L4，解得B4mv0qL或B4mv017qL，选项A、B正确；当在极板间加垂直极板指向P极板的匀强电场时，粒子恰好从右边射出电场，如图乙所示，y＝12qEm2Lv02L2，解得Emv204qL，选项C正确；根据对称性可知，选项D错误．2．(2019·山东菏泽模拟)如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响．求：(1)磁感应强度B0的大小；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．解析(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，则qv0B0＝mv20r，①做匀速圆周运动的周期T0＝2πrv0，②联立两式得磁感应强度B0＝2πmqT0.③(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，v0的方向应如图所示，有r＝d4，④当在两板之间正离子共运动n个周期，即nT0时，有r＝d4n(n＝1,2,3，…)，⑤联立①③⑤求解，得正离子的速度的可能值为v0＝B0qrm＝πd2nT0(n＝1,2,3，…)．答案(1)2πmqT0(2)πd2nT0(n＝1,2,3，…)【典例2】在空间中有一如图所示边界垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，已知P、Q、O为边长为L的等边三角形的三个顶点，两个带电粒子甲和乙从P点垂直PO方向射入匀强磁场中，甲从PO边的M点射出磁场，乙从QO边的N点射出磁场，已知PM＝2MO，QN＝NO，据此可知()题型二带电粒子的电性不确定形成的多解A．若两个带电粒子的比荷相同，则甲、乙两个带电粒子射入磁场时的速度大小之比为1∶2B．若两个带电粒子的动能相同，则甲、乙两个带电粒子所带电荷量之比为3∶2C．若两个带电粒子的带电荷量相同，则甲、乙两个带电粒子射入磁场时的动量大小之比为3∶2D．若两个带电粒子的比荷相同，则甲、乙两个带电粒子在磁场中运动的时间之比为3∶2答案D解析根据题述，画出两个带电粒子在磁场区域中运动的轨迹，如图所示，由几何关系可知，r甲＝13L，r乙＝12L，由qvB＝mv2r，解得r＝mvqB＝pqB.若两个带电粒子的比荷qm相同，由r＝mvqB可知，甲、乙两个带电粒子射入磁场时的速度大小之比等于轨迹半径之比，即v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝2∶3，选项A错误；若两个带电粒子的动能相同，由r＝mvqB＝2mEkqB可知，甲、乙两个带电粒子所带电荷量的比值为q甲q乙＝m甲m乙·r乙r甲＝32m甲m乙，选项B错误；若两个带电粒子所带电荷量q相同，由r＝mvqB＝pqB可知，甲、乙两个带电粒子射入磁场时的动量大小之比等于轨迹半径之比，即p甲∶p乙＝r甲∶r乙＝2∶3，选项C错误；若两个带电粒子的比荷相同，则由T＝2πmqB可知两粒子在磁场中运动的周期相同，带电粒子甲在磁场区域中运动轨迹圆弧所对圆心角为180°，在磁场中运动的时间为T2，带电粒子乙在磁场区域中运动轨迹圆弧所对圆心角为120°，在磁场中运动的时间为T3，则甲、乙两个带电粒子在磁场中运动的时间之比为t甲∶t乙＝3∶2，选项D正确．1．(2019·广东珠海二模)一个带电粒子A在一边长为a的正方形匀强磁场区域中做匀速圆周运动，运动的轨迹半径为R，在某点与一个静止的微粒(不带电)碰撞后结合在一起继续做匀速圆周运动，不计带电粒子和微粒的重力，根据题述信息，下列说法正确的是()(二)A．可以得出带电粒子与微粒碰撞前的速度大小B．可以得出带电粒子与微粒碰撞后的速度大小C．可以得出带电粒子与微粒碰撞后在磁场中运动的轨迹半径D．带电粒子与微粒碰撞后继续运动，可能从正方形匀强磁场区域中射出答案C解析由于题干中没有给出带电粒子的质量和电荷量、匀强磁场的磁感应强度等信息，因此不能得出带电粒子与微粒碰撞前、后的速度大小，选项A、B错误．带电粒子与微粒碰撞前后动量守恒，即mv0＝(m＋m′)v1；对带电粒子与微粒碰撞前在磁场中的运动，有qv0B＝mv20R；对带电粒子与微粒碰撞后在磁场中的运动，有qv1B＝(m＋m′)v21R1，联立解得R1＝R，即可以得出带电粒子与微粒碰撞后在磁场中运动的轨迹半径R1，选项C正确．由于带电粒子与微粒碰撞后继续运动的轨迹半径不变，所以不可能从正方形匀强磁场区域中射出，选项D错误．2．(2019·吉林长春质监)如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹．粒子重力不计．下列说法正确的是()A．粒子a带负电B．粒子c的动能最大C．粒子b在磁场中运动的时间最长D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大答案D解析由左手定则可知，a粒子带正电，选项A错误；由qvB＝mv2r，可得r＝mvqB，由图可知粒子c的轨迹半径最小，粒子b的轨迹半径最大，又m、q、B相同，所以粒子c的速度最小，粒子b的速度最大，由Ek＝12mv2，知粒子c的动能最小，根据洛伦兹力提供向心力有F向＝qvB，则可知粒子b的向心力最大，选项D正确，B错误；由T＝2πmqB，可知粒子a、b、c的周期相同，但是粒子b的轨迹所对的圆心角最小，则粒子b在磁场中运动的时间最短，选项C错误．【典例3】(2019·贵州遵义五校联考)(多选)两个质量相同，所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示，若不计粒子的重力，则下列说法正确的是()题型三临界状态不唯一或运动的重复性形成的多解A．a粒子带负电，b粒子带正电B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大C．b粒子动能较大D．b粒子在磁场中运动时间较长答案AC解析粒子向右运动，根据左手定则可知，b向上偏转，带正电；a向下偏转，带负电，故选项A正确．洛伦兹力提供向心力，即qvB＝mv2r，得r＝mvqB，故半径较大的b粒子速度大，受洛伦兹力较大，动能也大，故选项B错误，C正确．T＝2πmBq，则两粒子运动周期相等，磁场中偏转角大的运动的时间长；a粒子的偏转角大，因此运动的时间较长，故选项D错误．(三)1．(2019·福建莆田一中期末)(多选)在半径为R的圆形区域内，存在垂直圆面的匀强磁场．圆边上的P处有一粒子源，沿垂直于磁场的各个方向，向磁场区发射速率均为v0的同种粒子，如图所示．现测得：当磁感应强度为B1时，粒子均从由P点开始弧长为12πR的圆周范围内射出磁场；当磁感应强度为B2时，粒子则从由P点开始弧长为23πR的圆周范围内射出磁场．不计粒子的重力，则()A．前后两次粒子运动的轨迹半径之比为r1∶r2＝2∶3B．前后两次粒子运动的轨迹半径之比为r1∶r2＝2∶3C．前后两次磁感应强度的大小之比为B1∶B2＝2∶3D．前后两次磁感应强度的大小之比为B1∶B2＝3∶2AD解析假设粒子带正电，如图甲所示，磁感应强度为B1时，弧长L1＝12πR对应的弦长为粒子圆周运动的直径，则r1＝12·2Rsinθ＝RsinL12R＝Rsinπ4，如图乙所示，磁感应强度为B2时，弧长L2＝23πR对应的弦长为粒子圆周运动的直径，则r2＝12·2Rsinα＝RsinL22R＝Rsinπ3，因此r1∶r2＝sinπ4∶sinπ3＝2∶3，选项A正确，B错误；由洛伦兹力提供向心力，可得qv0B＝mv20r，则B＝mv0qr，可以得出B1∶B2＝r2∶r1＝3∶2，选项C错误，D正确．2．(2019·北京一零一中学滚动复习卷)如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤a2范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时(1)粒子速度的大小；(2)粒子速度方向与y轴正方向夹角的正弦值．解析(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨迹半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB＝mv2R，①由①式得R＝mvqB，②当a2Ra时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的上边界相