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数学第三部分教材知识重点再现回顾7概率与统计02[必会结论]03[必练习题]01[必记知识][必记知识]1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．3．排列数、组合数公式及其相关性质(1)排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！(m≤n，m，n∈N*)，Ann＝n！＝n(n－1)(n－2)…·2·1(n∈N*)．[提醒]（1）在这个公式中m，n∈N*，且m≤n，并且规定0！＝1，当m＝n时，Amn＝n！.（2）Amn＝n！（n－m）！主要有两个作用：①利用此公式计算排列数；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式.)(2)组合数公式Cmn＝AmnAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(m≤n，n，m∈N*)．[提醒](1)公式Cmn＝n！m！（n－m）！主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式.(2)组合数的性质,Cmn＝Cn－mn（m≤n，n，m∈N*），Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn（m≤n，n，m∈N*）.(3)排列数与组合数的联系,Amn＝CmnAmm.4．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Ckn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的Cknan－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Cknan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．5．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.[提醒]对于二项式定理应用时要注意(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.6．概率的计算公式(1)古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的基本事件数m基本事件总数n；(2)互斥事件的概率计算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)对立事件的概率计算公式P(A)＝1－P(A)．_7．统计中四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)；(4)方差与标准差方差：s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]．标准差：s＝1n[（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－x－）2].8．二项分布(1)相互独立事件的概率运算①事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．②若事件A1，A2，…，An相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．③事件A，B相互独立，则A－和B－，A与B－，A－与B也相互独立．(2)条件概率P(B|A)＝P（AB）P（A）的性质①0≤P(B|A)≤1.②若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．③若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)二项分布如果在每次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cknpkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：ξ01…k…nPC0np0qnC1np1qn－1…Cknpkqn－k…Cnnpnq0我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并称p为成功概率．[提醒]在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.9．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx(即直线x＝a，直线x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.④曲线与x轴之间的面积为1.⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．[提醒]P（X≤a）＝1－P（X＞a）；P（X≤μ－a）＝P（X≥μ＋a）；P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.[必会结论]1．求解排列问题常用的方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中先整体，后局部“小集团”排列问题中，先整体，后局部除法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法2.二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k＞n＋12时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n.(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.3．均值与方差的性质结论(1)均值的性质结论①E(k)＝k(k为常数)．②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．④若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．(2)方差的相关性质结论①D(k)＝0(k为常数)．②D(aX＋b)＝a2D(X)．③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.④若X1，X2，…，Xn两两独立，则D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)．(3)两点分布与二项分布的均值与方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．[必练习题]1．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为()A．62，62.5B．65，62C．65，63.5D．65，65解析：选D.由图易知最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.20.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.2．在x＋13x24的展开式中，x的幂指数是非整数的项共有()A．18项B．19项C．20项D．21项解析：选C.x＋13x24展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr24(x12)24－r·(x－13)r＝Cr24x12－56r(0≤r≤24，r∈N)，若x的幂指数是整数，则12－56r为整数，所以r＝0，6，12，18，24，共可取5个值，因为x＋13x24的展开式中有25项，所以x的幂指数是非整数的项共有25－5＝20项，故选C.3．如果3x－13x2n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x3的系数是()A．7B．－7C．21D．－21解析：选C.因为3x－13x2n的展开式中各项系数之和为128，所以令x＝1，则2n＝128，解得n＝7，所以3x－13x27的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝Cr7(3x)7－r－13x2r＝(－1)rCr737－rx7－5r3，令7－53r＝－3，解得r＝6，所以1x3的系数为(－1)6C67×3＝21.故选C.4．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80解析：选C.由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C35(2x)2(－y)3＋y·C25(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.5．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A．16种B．18种C．22种D．37种解析：选A.可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有C12C24＝12种；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有C22C14＝4种，所以共有12＋4＝16种不同的情况，故选A.6．某彩票公司每天开奖一次，从1，2，3，4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有()A．14种B．21种C．24种D．35种解析：选B.第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有3×1×3＋3×2×2＝21种．7．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在4号，5号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．解析：根据A球所在的位置可分三类：(1)若A球放在1号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×2×1＝6种不同的放法．(2)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×2×1＝6种不同的放法．(3)若A球放在2号盒子内，则B球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．答案：308．已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)．记换好后袋中的白球个数为X，则X的数学期望E(X)＝________，方差D(X)＝________．解析：依题意可知X的可能取