（京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 第三部分 教材知识 重点再现 回顾6 解析几何课件

数学第三部分教材知识重点再现回顾6解析几何02[必会结论]03[必练习题]01[必记知识][必记知识]1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.[提醒]当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(2)点到直线的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行线间的距离d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l1：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．[提醒]应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．6．椭圆的标准方程及几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)几何性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与长轴长的比值：e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[提醒]椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度.因为a2＝b2＋c2，所以ba＝1－e2，因此，当e越趋近于1时，ba越趋近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，ba越趋近于1，椭圆越接近于圆.所以e越大椭圆越扁；e越小椭圆越圆，当且仅当a＝b，c＝0时，椭圆变为圆，方程为x2＋y2＝a2（a＞0）.7．双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)几何性质范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系a2＝c2－b2[提醒](1)离心率e的取值范围为(1，＋∞).当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大.(2)满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当0＜2a＜|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，点P的轨迹不存在.8．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0，0)焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e＝1[必会结论]1．与圆的切线有关的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则|PT|＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝（x0－a）2＋（y0－b）2－r2.2．椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．以椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半径公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e为椭圆的离心率)(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．3．双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线的方程为x2a2－y2b2＝0，即y＝±bax.(2)若渐近线的方程为y＝±bax(a＞0，b＞0)，即xa±yb＝0，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ.(3)若所求双曲线与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有公共渐近线，其方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ＞0，焦点在x轴上；λ＜0，焦点在y轴上)．4．双曲线常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则kPA·kPB＝b2a2，S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.(5)P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为a.5．抛物线焦点弦的相关结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则(1)焦半径|AF|＝x1＋p2＝p1－cosα，|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosα.(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(4)1|FA|＋1|FB|＝2p.(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．(6)S△OAB＝p22sinα(O为抛物线的顶点)．[必练习题]1．过圆x2＋y2－x－y＋14＝0的圆心，且倾斜角为π4的直线方程为()A．x－2y＝0B．x－2y＋3＝0C．x－y＝0D．x－y＋1＝0解析：选C.由题意知圆的圆心坐标为12，12，所以过圆的圆心，且倾斜角为π4的直线方程为y＝x，即x－y＝0.2．圆心为(4，0)且与直线3x－y＝0相切的圆的方程为()A．(x－4)2＋y2＝1B．(x－4)2＋y2＝12C．(x－4)2＋y2＝6D．(x＋4)2＋y2＝9解析：选B.由题意，知圆的半径为圆心到直线3x－y＝0的距离，即r＝|3×4－0|3＋1＝23，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x－4)2＋y2＝12，故选B.3．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则其渐近方程为()A．y＝±2xB．y＝±4xC．y＝±12xD．y＝±14x解析：选C.由题意得e＝ca＝52，又a2＋b2＝c2，所以ba＝12，所以双曲线的渐近线方程为y＝±12x，选C.4．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝π4，若|AB|＝4，|BC|＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为()A．463B．263C．433D．233解析：选A.不妨设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，如图，由题意知，2a＝4，a＝2，因为∠CBA＝π4，|BC|＝2，所以点C的坐标为(－1，1)，因为点C在椭圆上，所以14＋1b2＝1，所以b2＝43，所以c2＝a2－b2＝4－43＝83，c＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.5．已知⊙M经过双曲线S：x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，则圆心M到原点O的距离为()A．143或73B．154或83C．133D．163解析：选D.因为⊙M经过双曲线S：x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，所以⊙M不可能过异侧的顶点和焦点，不妨设⊙M经过双曲线的右顶点和右焦点，则圆心M到双曲线的右焦点(5，0)与右顶点(3，0)的距离相等，所以xM＝4，代入双曲线方程可得yM＝±16×169－1＝±473，所以|OM|＝16＋4732＝163，故选D.6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．334B．938C．6332D．94解析：选D.易知直线AB的方程为y＝33x－34，与y2＝3x联立并消去x得4y2－123y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝33，y1y2＝－94，S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12×34（y1＋y2）2－4y1y2＝3827＋9＝94.故选D.7．已知双曲线x2a2－y212＝1(a＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为43，则双曲线的方程为()A．x24－3y24＝1B．x24－4y23＝1C．x26－y212＝1D．x24－y212＝1解析：选D.根据对称性，不妨设点A在第一象限，A(x，y)，则x2＋y2＝a2，y＝23ax解得x＝a212＋a2，y＝