（京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、

数学第二部分高考热点分层突破专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积02研考点考向破重点难点01做高考真题明命题趋向[做真题]题型一空间几何体的表面积与体积1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即12×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O­EFGH＝13×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.△SAB的面积为12·SA·SB·sin∠ASB＝12·SA2·1－cos2∠ASB＝1516·SA2＝515，所以SA2＝80，SA＝45.因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝45×22＝210.所以底面周长l＝2π·AS′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π题型二与球有关的切、接问题1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．86πB．46πC．26πD．6π解析：选D.因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P­ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P­ABC的外接球的半径R＝62，所以球O的体积V＝43πR3＝43π623＝6π，故选D.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543解析：选B.设等边三角形ABC的边长为x，则12x2sin60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝6sin60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－（23）2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值Vmax＝13S△ABC×6＝13×93×6＝183.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．3π4C．π2D．π4解析：选B.设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－122＝34，所以，圆柱的体积V＝34π×1＝3π4，故选B.[山东省学习指导意见]1．利用实物模型．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图．3．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．空间几何体的表面积和体积[典型例题]命题角度一空间几何体的表面积(1)(2019·临沂调研)已知圆锥的高为3，底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为()A．5B．5C．9D．3(2)(2019·上海浦东期中)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.【解析】(1)因为圆锥的底面半径R＝4，高h＝3，所以圆锥的母线l＝5，所以圆锥的侧面积S＝πRl＝20π.设球的半径为r，则4πr2＝20π，所以r＝5.故选B.(2)将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．【答案】(1)B(2)2600π求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．命题角度二空间几何体的体积(1)(2019·河北衡水中学四调)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A．2000π9B．4000π27C．81πD．128π(2)(一题多解)如图，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的表面积为________，体积为________．【解析】(1)小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0＜h＜5)，底面半径为r(0＜r＜5)．由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2＋h2＝52，所以小圆柱体积V＝πr2(h＋5)＝π(25－h2)(h＋5)(0＜h＜5)，求导得V′＝－π(3h－5)(h＋5)．当0＜h＜53时，V′＞0，体积V单调递增；当53＜h＜5时，V′＜0，体积V单调递减．所以当h＝53时，小圆柱的体积取得最大值，即Vmax＝π25－259×53＋5＝4000π27，故选B.(2)如图，过点C作CM平行于AB，交AD于点M，作CN平行于BE，交EF于点N，连接MN.由题意可知ABCM，BENC都是矩形，AM＝DM＝2，CN＝2，FN＝1，AB＝CM＝22，所以S△AEB＝12×2×2＝2，S梯形ABCD＝12×(2＋4)×22＝62，S梯形BEFC＝12×(2＋3)×2＝5，S梯形AEFD＝12×(3＋4)×2＝7，在直角三角形CMD中，CM＝22，MD＝2，所以CD＝23.又因为DF＝FC＝5，所以S△DFC＝12×23×2＝6，所以这个几何体的表面积为2＋62＋5＋7＋6＝14＋62＋6.法一：因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE­MCN和四棱锥C­MNFD，又因为直三棱柱ABE­MCN的体积为V1＝S△ABE·AM＝12×2×2×2＝4，四棱锥C­MNFD的体积为V2＝13S四边形MNFD·BE＝13×12(1＋2)×2×2＝2，所以所求几何体的体积为V1＋V2＝6.法二：如图，连接AC，EC，则几何体分割为四棱锥C­ADFE和三棱锥C­ABE，因为VC­ADFE＝13×3＋42×2×2＝143，VC­ABE＝1322×2×2＝43，所以几何体的体积为VC­ADFE＋VC­ABE＝143＋43＝6.法三：如图，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABE­DMN，所以几何体的体积等于直三棱柱ABE­DMN的体积减去四棱锥D­CMNF的体积．因为VABE­DMN＝12×2×2×4＝8，VD­CMNF＝131＋22×2×2＝2，所以几何体的体积为VABE­DMN－VD­CMNF＝8－2＝6.【答案】(1)B(2)14＋62＋66求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．[对点训练]1．(2019·江苏南通联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D­BB1C1的体积为________．解析：如图，取BC中点O，连接AO.因为正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，所以AC＝2，OC＝1，则AO＝3.因为AA1∥平面BCC1B1，所以点D到平面BCC1B1的距离为3.又S△BB1C1＝12×2×2＝2，所以VD­BB1C1＝13×2×3＝233.答案：233解析：记所有棱长都是2的三棱锥为P­ABC，如图所示，取BC的中点D，连接AD，PD，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABC，且OP＝63×2＝233，故三棱锥P­ABC的体积V＝13S△ABC·OP＝13×34×(2)2×233＝13.2．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是2的三棱锥，则该三棱锥的体积为________．答案：13[典型例题]命题角度一外接球(2019·石家庄市质量检测)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝π3，则三棱锥P­AOB的外接球的体积是________．与球有关的切、接问题【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，即OA⊥OB，因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AO，又OB∩PB＝B，所以AO⊥平面PBO，所以AO⊥PO，即△PAO是以PA为斜边的直角三角形，因为PB⊥AB，所以△PAB是以PA为斜边的直角三角形，所以三棱锥P­AOB的外接球的直径为PA，因为PB＝1，∠APB＝π3，所以PA＝2，所以三棱锥P­AOB的外接球的半径为1，所以三棱锥P­AOB的外接球的体积为4π3.【答案】4π3解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．命题角度二内切球(2019·广东省七校联考)在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．【解析】通解：由题意知，球内切于四棱锥P­ABCD时半径最大，设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，则VP­ABCD＝VO­ABCD＋VO­PAD＋VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PCD，即13×2a×2a×2a＝13×4a2＋2×12×2a×2a＋2×12×2a×22a×r，解得r＝(2－2)a.优解：易知当球内切于四棱锥P­ABCD，即与四棱锥P­ABCD各个面均相切时，球的半径最大，作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥P­ABCD内切球的半径为r，则12×2a×2a＝12×(2a＋2a＋22a)×r，解得r＝(2－2)a.【答案】(2－2)a求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．命题角度三与球有关的最值问题(2019·济南市质量检测)三棱