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第一章机械运动与物理模型第3节运动图象追及、相遇问题【基础梳理】提示：位移速度静止匀速直线匀速直线匀变速直线不小于最小初始间距【自我诊断】判一判(1)x－t图象和v－t图象都表示物体运动的轨迹．()(2)x－t图象和v－t图象都只能描述直线运动．()(3)x－t图象上两图线的交点表示两物体此时相遇．()(4)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近．()(5)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等．()提示：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√做一做(多选)(人教必修1·P33·T2改编)a、b、c三辆汽车在同一平直公路上行驶，它们的v－t图象如图所示，由图象可知()A．a汽车做匀速直线运动B．c汽车做匀速直线运动C．0～4s内a、b两汽车运动方向相同D．第3s末，b、c两汽车的加速度相同提示：AC运动图象的理解与应用【知识提炼】分析图象问题时应注意“六看”一看“轴”x－t图象纵轴表示位移v－t图象纵轴表示速度二看“线”x－t图象上倾斜直线表示匀速直线运动v－t图象上倾斜直线表示匀变速直线运动三看“斜率”x－t图象上斜率表示速度v－t图象上斜率表示加速度四看“面积”v－t图象上图线和时间轴围成的“面积”表示位移五看“纵截距”x－t图象表示初位置v－t图象表示初速度六看“特殊点”拐点（转折点）：一般表示从一种运动状态变为另一种运动状态交点：在x－t图象上表示相遇，在v－t图象上表示速度相等【典题例析】角度一图象选择类问题依据某一物理过程，设计某一物理量随时间(或位移、高度、速度等)变化的几个图象或此物理过程中某几个物理量随某一量的变化图象，从中判断其正误．(2019·杭州预测卷)设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为s.现有四个不同物体的运动图象如图所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是()[解析]A项中，物体在0～2s内速度为正，沿规定的正方向运动；物体在2～4s内速度为负，沿规定正方向的反方向运动．物体不是做单向直线运动；B项中，物体在0～2s内位移减小，沿规定的正方向的反方向运动；物体在2～4s内位移增大，沿规定正方向运动．物体不是做单向直线运动；C项中，物体在0～1s内做匀加速运动，沿规定的正方向运动；物体在1～2s做匀减速运动，第2s速度恰好变成0，在1～2s内做速度减小的正方向运动．然后重复上面的过程，物体做单向直线运动；D项中，物体在0～1s内做匀加速运动，沿规定的正方向运动；物体在1～2s内做匀减速运动，第2s速度恰好变成0，在1～2s内做速度减小的正方向运动；物体在2～3s内做反方向的匀加速运动，沿规定正方向的反方向运动．物体不是做单向直线运动．[答案]C解决该类问题一般依据物理过程，运用对应规律，实现公式与图象之间的转化，确定某物理量的变化情况，从而确定选项的正确与否．(2019·阜阳模拟)如图所示，一物体从静止开始做直线运动的加速度随时间变化的图象，则下列物体运动的v－t图象中正确的是()解析：选A.在0～1s内，物体从静止开始沿正方向以2m/s2的加速度做匀加速运动，速度图象是一条倾斜直线，1s末速度v1＝a1t＝2m/s；在1～2s内，沿正方向以2m/s的速度做匀速直线运动；2～3s内物体以1m/s2的加速度做匀加速直线运动，3s末速度为v3＝v1＋a2t＝3m/s；3～4s内物体以2m/s2的加速度沿正方向做匀减速直线运动，4s末速度v4＝v3－a3t＝1m/s，故选项A正确．角度二图象信息类问题这类问题是对某一物理情景给出某一物理量的具体变化图象，由图象提取相关信息或将图象反映的物理过程“还原”成数学表达式形式从而对问题做出分析判断．(2019·四川双流中学一模)甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动．质点甲做初速度为零，加速度大小为a1的匀加速直线运动，质点乙做初速度为v0，加速度大小为a2的匀减速直线运动至速度减为零后保持静止．甲、乙两质点在运动过程中的x－v(位置－速度)图象如图所示，虚线与对应的坐标轴垂直，则()A．在x－v图象中，图线a表示质点甲的运动，质点乙的初速度v0＝12m/sB．质点乙的加速度大小a2＝2m/s2C．质点甲的加速度大小a1＝2m/s2D．图线a、b的交点表示两质点同时到达同一位置[思路点拨](1)根据图象中速度随位移的变化关系判断甲和乙分别是哪个图象；(2)根据图象直接读出x＝0时，乙的速度；分别对甲和乙，根据运动学基本公式列式，联立方程求解．[解析]由图可知，在x－v图象中，图线a表示质点甲的运动，质点乙的初速度v0＝6m/s，故A错误；质点乙、甲先后通过x＝6m处时的速度均为v，对质点甲：v2＝2a1x，对质点乙：v2－v20＝－2a2x，联立解得a1＋a2＝3m/s2，当质点甲的速度v1＝8m/s、质点乙的速度v2＝2m/s时，两质点通过相同的位移均为x′，对质点甲：v21＝2a1x′，对质点乙：v22－v20＝－2a2x′，联立解得a1＝2a2，所以a1＝2m/s2，a2＝1m/s2，故B错误，C正确；图线a、b的交点表示质点乙、甲先后通过x＝6m处时的速度均为v，故D错误．[答案]C解决此类问题时要根据物理情景中遵循的规律，由图象提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答．具体分析过程如下：【题组突破】1．(多选)(2018·高考全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是()A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等解析：选CD.x－t图象某点的切线斜率表示瞬时速度，A错误；前t1时间内，由于甲、乙的出发点不同，故路程不同，B错误；t1～t2时间内，甲、乙的位移和路程都相等，大小都为x2－x1，C正确；t1～t2时间内，甲的x－t图象在某一点的切线与乙的x－t图象平行，此时刻两车速度相等，D正确．2.(2019·银川模拟)一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其xt－t图象如图所示，则()A．质点做匀速直线运动，速度大小为0.5m/sB．质点做匀加速直线运动，加速度大小为0.5m/s2C．质点在1s末速度大小为2m/sD．质点在第1s内的位移大小为2m解析：选C.由图得xt＝1＋12t，即x＝t＋12t2，根据x＝v0t＋12at2，对比可得v0＝1m/s，12a＝12m/s2⇒a＝1m/s2，质点的加速度不变，说明质点做匀加速直线运动，初速度为1m/s，加速度为1m/s2，A、B错误；质点做匀加速直线运动，在1s末速度为v＝v0＋at＝(1＋1×1)m/s＝2m/s，C正确；质点在第1s内的位移大小x＝v0t＋12at2＝1.5m，D错误．追及、相遇问题【知识提炼】讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．1．抓住一个条件，两个关系(1)一个条件：二者速度相等．它往往是能否追上或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．(2)两个关系：即时间关系和位移关系．可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解题的突破口．2．能否追上的判断方法常见情形：物体A追物体B，开始二者相距x0，则(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.(2)要使两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB.【典题例析】角度一与运动图象相结合的追及相遇问题(2019·甘肃武威诊断)入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足20m，在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前，甲在后同向行驶．某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两辆车刹车时的v－t图象如图所示，则()A．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定等于112.5mB．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定小于90mC．若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20s之内的某时刻发生相撞D．若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20s以后的某时刻发生相撞[解析]由图可知，两车速度相等时经历的时间为20s，甲车的加速度a1＝－2525m/s2＝－1m/s2，乙车的加速度a2＝－1530m/s2＝－0.5m/s2，此时甲车的位移x甲＝v甲t＋12a1t2＝25×20－12×1×400m＝300m，乙车的位移x乙＝v乙t＋12a2t2＝15×20－12×0.5×400m＝200m，可知要不相撞，则两车的最少距离Δx＝(300－200)m＝100m，因为两车发生碰撞，则两车的距离小于100m，故A、B错误；因为速度相等后，若不相撞，两者的距离又逐渐增大，可知两辆车一定是在刹车后的20s之内的某时刻发生相撞的，故C正确，D错误．[答案]C用运动图象解答追及和相遇问题的思路角度二与实际生活相结合的追及相遇问题一辆值勤的警车停在一条长直公路的路边，当警员发现从他旁边以v＝8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经Δt＝2.5s警车发动起来，以加速度a＝2m/s2做匀加速直线运动．(1)警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？(2)若警车能达到的最大速度vmax＝12m/s，达到最大速度后以该速度匀速行驶，则警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？(3)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？[思路点拨]要求本题可从以下几个角度思考：(1)警车在Δt＝2.5s时间内有没有运动？(2)货车在Δt＝2.5s时间内位移为多大？(3)货车从警员旁边经过到被追上，货车与警车的位移有什么关系？(4)两车间的距离最大时两车的速度有什么关系？[解析]法一物理分析法(1)设警车经时间t1追上违章货车，则对警车有s1＝12at21对货车有s1＝v(t1＋Δt)联立解得t1＝10s(另一解不合题意已舍去)．(2)设警车发动起来后经t0时间速度达到最大，经t2时间追上货车，则有vmax＝at0vmax2t0＋vmax(t2－t0)＝v(t2＋Δt)联立上述两式，并代入数据解得t2＝14s.(3)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们之间的距离最大，设警车发动后经过t3时间两车的速度相等，有v＝at3则t3时间内，货车的位移大小x1＝v(t3＋Δt)则t3时间内，警车的位移大小x2＝12at23两车间的最大距离Δx＝x1－x2＝36m.法二图象法(1)警车、货车的速度－时间图象如图甲所示．警车追上货车时，图甲中两块阴影面积相等，则8×(t1＋2.5)＝12v1t1对警车有v1＝2t1联立以上两式，并代入数据解得t1＝10s(另一解不合题意已舍去)．故警车发动起来后经过10s才能追上违章的货车．(2)若警车能达到的最大速度是vmax＝12m/s，则警车、货车的速度－时间图象如图乙所示．警车追上货车时，图乙中两块阴影面积相等，则8×(t2＋2.5)＝12[(t2＋2.5－8.5)＋t2]×12解得t2＝14s.故此种情况下，警车发动起来后经过14s才能追上违章的货车．(3)由图甲知，警车在追赶货车的过程中，当t＝6.5s时两车间的距离最大，且为Δx＝12×(2.5＋6.5)×8m＝36m.[答案]见解析(1)两车初位置相同，若要再相遇，则两车的位移必相等，相遇时后面的车的速度一定不小于前面的车的速度．(2)两车同向行驶，两车间的距离最大或最小的条件是速度相等．(3)若后面的车追赶前面的车，而前面的车在做减速直线运动，则应判断在后面的车未追上时前面的车是否已停下来．若在后面的车未追上时前面的车已停下，则追赶过程中两车的运动时间不相等．【互动探究】在[例题4]中，若货车从警员旁边经过后的6s末开始以大小为4m/s2的加速度刹车，其他条件不变，求警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？解析：货车从警员旁边经过后的6s内的位移大