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第四章曲线运动与万有引力定律第5节天体运动与人造卫星【基础梳理】提示：万有引力mv2r赤道环绕7.911.216.7【自我诊断】判一判(1)同步卫星可以定点在北京市的正上方．()(2)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度．()提示：(1)×(2)×做一做(多选)(沪科必修2·P102·T1)关于相对于地面静止不动的同步卫星，下列说法中正确的是()A．它一定在赤道上空B．同步卫星的高度和速率是确定的值C．它运行的线速度一定小于第一宇宙速度D．它运行的线速度一定介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间提示：ABC宇宙速度的理解与计算【知识提炼】1．第一宇宙速度的推导法一：由GMmR2＝mv21R得v1＝GMR＝7.9×103m/s.法二：由mg＝mv21R得v1＝gR＝7.9×103m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πRg＝5075s≈85min.2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v发＝7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动．(2)7.9km/sv发11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．(3)11.2km/s≤v发16.7km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．【题组突破】1．(2019·浙江杭州模拟)设同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是()A.a1a2＝R2r2B.a1a2＝rRC.v1v2＝rRD.v1v2＝rR解析：选B.因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由a1＝ω2r，a2＝ω2R可得a1a2＝rR，故B正确，A错误；对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力，得：GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，则得v1v2＝Rr，故C、D错误．2．(多选)(2019·河北衡水模拟)使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝2v1，已知某星球半径是地球半径R的13，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的16，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则()A．该星球上的第一宇宙速度为3gR3B．该星球上的第二宇宙速度为gR3C．该星球的平均密度为ρ2D．该星球的质量为8πR3ρ81解析：选BC.该星球表面的重力加速度g′＝g6，由mg′＝mv2R3可得星球第一宇宙速度v1＝g′R3＝gR18，第二宇宙速度为v2＝2v1＝gR3，故A错误，B正确；地球表面上物体的重力等于万有引力，即GmMR2＝mg，地球的质量为M＝gR2G＝ρ·43πR3；同理，星球的质量为M′＝g′R′2G＝ρ′·43πR′3，联立解得：ρ′＝ρ2，M′＝2ρπR381，故C正确，D错误．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题【知识提炼】如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3.近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2＞r3＝r1角速度由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，故ω1＞ω2同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3ω1＞ω2＝ω3近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)线速度由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，故v1＞v2由v＝rω得v2＞v3v1＞v2＞v3向心加速度由GMmr2＝ma得a＝GMr2，故a1＞a2由a＝ω2r得a2＞a3a1＞a2＞a3【题组突破】1．(多选)如图所示，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，c为地球的同步卫星，其轨道半径为r，设地球半径为R，下列说法正确的是()A．b与c的周期之比为rRB．b与c的周期之比为RrRrC．a与c的线速度大小之比为RrD．a与c的线速度大小之比为Rr解析：选BC.b、c均为地球的卫星，则均由万有引力提供向心力，有GMmr2＝m4π2T2r，整理得T＝2πr3GM，则b、c的周期之比为TbTc＝R3r3＝RrRr，选项A错误，B正确；由于a、c具有相同的角速度，则由v＝ωr，可知a、c的线速度之比为vavc＝Rr，选项C正确，D错误．2．(2019·四川眉山模拟)地球赤道地面上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则下列结论正确的是()A．F1＝F2F3B．a1＝a2＝ga3C．v1＝v2＝vv3D．ω1＝ω3ω2解析：选D.根据题意三者质量相等，轨道半径r1＝r2＜r3；物体1与人造卫星2比较，由于赤道上物体受引力和支持力的合力提供向心力，而近地卫星只受万有引力，故F1＜F2，故A错误；由选项A的分析知道向心力F1＜F2，故由牛顿第二定律，可知a1＜a2，故B错误；由A选项的分析知道向心力F1＜F2，根据向心力公式F＝mv2R，由于m、R一定，故v1＜v2，故C错误；同步卫星与地球自转同步，故T1＝T3，根据周期公式T＝2πr3GM可知，卫星轨道半径越大，周期越大，故T3＞T2，再根据ω＝2πT，有ω1＝ω3＜ω2，故D正确．卫星(航天器)的变轨及对接问题【典题例析】角度一卫星的变轨、对接问题如图，宇宙飞船A在低轨道上飞行，为了给更高轨道的宇宙空间站B输送物资，需要与B对接，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下说法正确的是()A．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后周期比低轨道时的小B．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后周期比低轨道时的大C．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后周期比低轨道时的大D．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后周期比低轨道时的小[解析]若A要实施变轨与比它轨道更高的空间站B对接，则应做逐渐远离圆心的运动，则万有引力必须小于A所需的向心力，所以应给A加速，增加其所需的向心力，故应沿运行速度的反方向喷气，使得在短时间内A的速度增加．与B对接后轨道半径变大，根据开普勒第三定律R3T2＝k得，周期变大，故选项B正确．[答案]B角度二变轨前、后各物理量的比较2017年1月18日，世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用．如图为“墨子号”变轨示意图，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是()A．“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越大B．“墨子号”在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率C．“墨子号”在轨道B上经过P点时的向心加速度大于在轨道A上经过P点时的向心加速度D．“墨子号”在轨道B上经过Q点时受到的地球的引力小于经过P点时受到的地球的引力[解析]“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，选项A错误；“墨子号”在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，轨道半径越大，线速度越小，选项B错误；“墨子号”在A、B两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，选项C错误；“墨子号”在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，选项D正确．[答案]D航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝GMr判断．(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．角度三天体中的“追及相遇”问题(多选)如图，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法正确的有()A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次[解析]根据开普勒第三定律r3T2＝k得TaTb＝r3ar3b＝143＝18，则周期之比为1∶8，选项A正确，B错误；设图示位置a、b的夹角为θπ2，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：2πTaTb－2πTbTb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，3，…)，可知n6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：2πTaTb－2πTbTb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，3，…)，可知m6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，选项D正确．[答案]AD天体相遇与追及问题的处理方法首先根据GMmr2＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1、2、3…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0、1、2…)．【题组突破】1．(2016·高考天津卷)我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接解析：选C.为了实现飞船与空间实验室的对接，必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，选项C正确．2．(多选)(2019·四川泸州模拟)与嫦娥1号、2号月球探测器不同，嫦娥3号是一次性进入距月球表面100km高的圆轨道Ⅰ(不计地球对探测器的影响)，运行一段时间后再次变轨，从100km的环月圆轨道Ⅰ，降低到距月球15km的近月点B、距月球100km的远月点A的椭圆轨道Ⅱ，如图所示，为下一步月面软着陆做准备．关于嫦娥3号探测器下列说法正确的是()A．探测器从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在A点应加速B．探测器在轨道Ⅱ经过A点的速度小于经过B点的速度C．探测器沿轨道Ⅰ运动过程中，探测器中的科考仪器对其支持面没有压力D．探测器在轨道Ⅱ经过A点时的加速度小于在轨道Ⅰ经过A点时的加速度解析：选BC.探测器从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ的过程中探测器轨道半径要减小做近心运动，提供的向心力大于所需向心力，又因在轨道Ⅰ上运动时万有引力和向心力相等，故变轨时需在A点做减速运动，使得探测器满足GMmr2＞mv2r做近心运动，故A错误；探测器在椭圆轨道Ⅱ运行由A运动至B点的过程中，逐渐靠近地球，万有引力做正功，故势能变小，动能变大，经过A点的线速度小于经过B点的线速度，故B正确；探测器沿轨道Ⅰ运动过程中，处于完全失重状态，探测器中的科考仪器对其支持面没有压力，故C正确；在A点探测器产生的加速度都是由万有引