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第四章曲线运动与万有引力定律第3节圆周运动【基础梳理】提示：线速度大小不变的半径相切2πrTm/s2πTrad/s一圈圈数圆心v2rω2r圆心mv2rmω2r切线远离靠近【自我诊断】判一判(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动．()(2)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的．()(3)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比．()(4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比．()(5)随圆盘一起匀速转动的物体受重力、支持力和向心力的作用．()(6)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动．()提示：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√做一做(多选)(人教版必修2·P22·T3拓展)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝RA2，若在传动过程中，皮带不打滑．则()A．A点与C点的角速度大小相等B．A点与C点的线速度大小相等C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4提示：选BD.处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度大小相等；同轴转动的点，角速度相等．对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝RA2，所以ωA＝ωC2，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝ωC2，可得ωB＝ωC2，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝ωC2及关系式a＝ω2R，可得aB＝aC4，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确．做一做(多选)(人教版必修2·P25·T2拓展)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是),A．A、B球受到的支持力之比为3∶3B．A、B球的向心力之比为3∶1C．A、B球运动的角速度之比为3∶1D．A、B球运动的线速度之比为1∶1提示：选CD.设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsinθ＝mg，FNA∶FNB＝3∶1，选项A错误；F＝mgtanθ，FA∶FB＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R＝htanθ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，选项D正确．圆周运动的运动学问题【题组突破】1．(人教版必修2·P19·T4改编)如图是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为nr/s，则自行车前进的速度为()A.πnr1r3r2B.πnr2r3r1C.2πnr2r3r1D.2πnr1r3r2答案：D2．(2019·浙江台州模拟)汽车后备箱盖一般都配有可伸缩的液压杆，如图甲所示，其示意图如图乙所示，可伸缩液压杆上端固定于后盖上A点，下端固定于箱内O′点，B也为后盖上一点，后盖可绕过O点的固定铰链转动，在合上后备箱盖的过程中()A．A点相对O′点做圆周运动B．A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等C．A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等D．A点与B点相对于O点转动的向心加速度大小相等解析：选C.在合上后备箱盖的过程中，O′A的长度是变化的，因此A点相对O′点不是做圆周运动，选项A错误；在合上后备箱盖的过程中，A点与B点都是绕O点做圆周运动，相同的时间绕O点转过的角度相同，即A点与B点相对O点的角速度相等，但是OB大于OA，根据v＝rω，所以B点相对于O点转动的线速度大，故选项B错误，C正确；根据向心加速度公式a＝rω2可知，B点相对O点的向心加速度大于A点相对O点的向心加速度，故选项D错误．常见的三种传动方式及特点(1)同轴传动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．(2)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.(3)摩擦传动：如图所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.水平面内的匀速圆周运动【知识提炼】1．水平面内的匀速圆周运动轨迹特点：运动轨迹是圆且在水平面内．2．匀速圆周运动的受力特点(1)物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心．(2)合外力充当向心力．3．解答匀速圆周运动问题的一般步骤(1)选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象．(2)分析物体受力情况，其合外力提供向心力．(3)由Fn＝mv2r或Fn＝mω2r或Fn＝m4π2rT2列方程求解．【典题例析】(多选)(2019·湖南株洲联考)如图所示，匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为2kg和3kg的小物体A、B，A、B间用细线沿半径方向相连．它们到转轴的距离分别为rA＝0.2m、rB＝0.3m．A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4.g取10m/s2，现极其缓慢地增大圆盘的角速度，则下列说法正确的是()A．当A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为12NB．当A恰好达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度约为4rad/sC．当细线上开始有弹力时，圆盘的角速度为2303rad/sD．在细线上有弹力后的某时刻剪断细线，A将做向心运动，B将做离心运动[审题指导](1)“匀速转动”想到向心力来源；(2)“缓慢增大圆盘的角速度”要判断A、B两物体谁先发生相对滑动．[解析]增大圆盘的角速度，B先达到最大静摩擦力，所以A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为FB＝kmBg＝12N，A正确；设小物体A达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度为ω1，此时细线的拉力为T，则对A：kmAg－T＝mAω21rA，对B∶T＋kmBg＝mBω21rB，得ω1＝10213rad/s≈4rad/s，B正确；当细线上开始有弹力时，对B：kmBg＝mBω22rB，解得ω2＝2303rad/s，C正确；剪断细线，A随圆盘做圆周运动，B将做离心运动，D错误．[答案]ABC(多选)在[例1]中，若去掉A、B间连线改为如图所示，且rb＝2ra＝2l，ma＝mb，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．若ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg解析：选AC.小木块发生相对滑动之前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得f＝mω2r，显然b受到的摩擦力较大；当木块刚要相对于盘滑动时，静摩擦力f达到最大值fmax，由题设知fmax＝kmg，所以kmg＝mω2r，由此可以求得木块刚要滑动时的临界角速度ω0＝kgr，由此得a发生相对滑动的临界角速度为kgl，b发生相对滑动的临界角速度为kg2l；当ω＝2kg3l时，a受到的是静摩擦力，大小为f＝mω2l＝23kmg.综上所述，本题正确选项为AC.“一、二、三、四”求解圆周运动问题【题组突破】1．铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于gRtanθ，则()A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压C．这时铁轨对火车的支持力等于mgcosθD．这时铁轨对火车的支持力大于mgcosθ解析：选C.由牛顿第二定律F合＝mv2R，解得F合＝mgtanθ，此时火车只受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcosθ＝mg，则FN＝mgcosθ，内、外轨道对火车均无侧压力，故选项C正确，A、B、D错误．2.如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图象正确的是()解析：选A.设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，则有细绳拉力为F，有Fsinθ＝mω2lsinθ，得F＝mω2l，选项A正确；mgtanθ＝mω2lsinθ，得h＝lcosθ＝gω2，选项B错误；小球的向心加速度a＝ω2lsinθ，选项C错误；小球的线速度v＝ωlsinθ，选项D错误．竖直面内的圆周运动【知识提炼】1．运动特点(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动．(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒．(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周最高点的速度．(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点两种情形．2．常见模型物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示物理情景最高点无支撑最高点有支撑受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图物理情景最高点无支撑最高点有支撑力学方程mg＋FN＝mv2Rmg±FN＝mv2R临界特征FN＝0mg＝mv2minR即vmin＝gRv＝0即F向＝0FN＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gRv≥0【典题例析】(2016·高考海南卷)如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动，已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2，重力加速度大小为g，则N1－N2的值为()A．3mgB．4mgC．5mgD．6mg[解析]在最高点，根据牛顿第二定律可得N2＋mg＝mv22r，在最低点，根据牛顿第二定律可得N1－mg＝mv21r，从最高点到最低点过程中，机械能守恒，故有mg·2r＝12mv21－12mv22，联立三式可得N1－N2＝6mg.[答案]D巧解圆周运动问题“三分析”(1)几何关系分析：目的是确定圆周运动的圆心、半径等．(2)运动分析：目的是确定圆周运动的线速度、角速度．(3)受力分析：目的是利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时外界所提供的向心力．【题组突破】1．(多选)如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动．小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是()A．图象的函数表达式为F＝mv2l＋mgB．重力加速度g＝blC．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变解析：选BD.小球在最高点时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝mv2l，得F＝mv2l－mg，故A错误；当F＝0时，根据表达式有mg＝mv2l，得g＝v2l＝bl，故B正确；根据F＝mv2l－mg知，图线的斜率k＝ml，绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率更小，故C错误；当F＝0时，g＝bl，可知b点的位置与小球的质量无关，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，故D正确．2．(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B．小球过最高点的最小速度是gRC．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析：选A.轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝gR时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若vgR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝mv2R，随v增大，F减小，若vgR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝mv2R，随v增大，F增大，故C、D均错误．3．如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运