解决球问题的四大策略

解决球问题的四大策略浙江曾安雄一、突出球心球心是球的灵魂，抓住球心就抓住了球的位置，特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和切点及球心的连线来构造多面体，使球问题转化为多面体问题来加以解决．例1（2004年全国高考卷Ⅱ四川、吉林等地）已知球O的半径为1，ABC，，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为π2，则球心O到平面ABC的距离为（）Ａ．13Ｂ．33Ｃ．23Ｄ．63分析：突出球心O即可．由于三点ABC，，在球面上，且每两点间的球面距离相等．故可构造正三棱锥求解．解：球心O与ABC，，三点构成正三棱锥OABC，如图所示，已知1OAOBOCR，90AOBBOCAOC，由此可得AO面BOC．12BOCS△，32ABCS△．由ABOCOABCVV，得33h．故选（Ｂ）．评注：解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．二、展示大圆因为大圆的半径就是球的半径，所以我们可以把球的问题转化为圆的问题，使空间问题平面化．例2（2004年全国高考卷Ⅲ陕西、广西等地）用平面截半径的为R的球，如果球心到平面的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为．分析：只要画出截面及球的大圆，利用R及r的数量关系，即可求出小圆的半径r．解：作出球的大圆截面图，如图所示，易得32rR．故得316SS小球表．评注：展示大圆的特征图是将空间问题平面化的重要途径．对于球问题通常要抓住其特征Rt△（即球半径、小圆半径及圆心距构成的直角三角形）来解决．三、巧作截面解与球有关的截面问题通常要作出轴截面，即通过大圆的截面．例3（2004年全国高考江苏卷）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（）Ａ．3100πcm3Ｂ．3208πcm3Ｃ．3500πcm3Ｄ．341613πcm3分析：作过大圆的截面，则问题可迎刃而解．解：画出截面图，作图所示，知球的半径5R，求得500π3V球，故选（Ｃ）．评注：解有关球的表面积和体积问题，最关键是画出截面图，转化为平面几何问题求出球半径R．四、掌握规律在解决球问题时，除了以上几种方法外，还应掌握一定的规律．如长方体的外接规律：长方体的外接球直径2R恰为其对角线长为222abc，即2222Rabc．特别地，正方体的外接球直径2R恰为其对角线长3a，即23Ra．例4（2001年北京春季高考题）已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于．解：设正方体的边长为a，则有26aS．又由性质有22(2)3Ra，故有8SR．由此求得342ππ324SSVR球．