解排列组合应用题的十三种策略及常现背景

-1-解排列组合应用题的十二种策略导与练排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。一、运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。例1（2003年全国高考题）如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有种。（以数字作答）。分析：本题只要用两个基本原理即可解决。解：根据题意，可分类求解：第一类，用三种颜色着色，由乘法原理C14C41C12=24种方法；第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C14C41C12C11=48种方法。从而再由加法原理，得24+48=72种方法。故应填72。二、特殊元素（位置）优先例2从a,b,c,d,e这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子中，问共有多少种不同的放法？解法一（元素分析法，b为特殊元素）先排b，但考虑到取出的4个元素可以有b,也可以没b,所以分两类：第一类，取出的4个元素中有b,则排b有A13种方法；再从a,c,d,e中取出3个排另外三个格子有A34种所以此类共有A3413A种。第二类，取出的4个元素中没有b，则!有A44种方法，所以共有A3413A+A44=96种放法.解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A14种（从a,c,d,e中取一个）再排另三格有A34种，所以共有A14.A34种放法。解法三：（间接法）3445AA三、捆绑法例3．计划在一画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）A5544AAB554433AAAC554413AACD554422AAA解：油画整体、国画整体、水彩画个“元素”先排，考虑到水彩画不能排两端，所以有22A种方法，又幅油画的不同陈列方式有44A种，幅国画陈列方式有55A种，因而，画展的不同陈列方式有554422AAA种，故选D.四、插空法例4、道路边上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于：在7盏开着的路灯的6个间隔中，选出3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有2036C种。-2-练：（1）三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6人排成一排合影，同校任两名学生不能相邻，那么不同的排法有多少种。（120种）五、排除法例5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A．8种B．12种C．16种D．20种解：由六个面任取三个共有C36=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件的共有C36-8=12种。故选B。六、对称比例法有些排列组合应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解。例6由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于5000的偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个解：全排列为A55，由题意知满足条件的五位数的个位上出现2，或4的可能性为，在余下的四个数中，万位上出现满足条件的数字的可能性为，故满足条件的五位数共有：××A55=36。故选C。例7用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．24个B．30个C．40个D．60个解：五个数字选三个组成的三位数共有A35个，其中2，4为个位数的占，所以满足条件的偶数共有A35=24。故选A。七、多元分类法对于元素多、选取情况多的可按要求进行分类讨论，最后总计。例8有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种解：先从10人中选出2人承担甲项任务，有C210种选法，再从余下的8人中选1人承担乙项任务，有8种，最后从7人中选1人承担丙项任务，有7种，所以根据乘法原理知共有C210×8×7=2520种。故选C。例9一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种。解：先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法。而作物B种植的情况与作物A相同，所以满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2=12种。-3-练习①2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有(B)Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种②用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(B)A．324B．328C．360D．648③从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数(C)A85B56C.49D.28④某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(A)⑤某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人开会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自不同企业的可能情况的种数为（）(B)A、14B、16C、20D、48⑥从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（B）A.280种B.240种C.180种D.96种⑦有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（C）A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种⑧一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有12种。八、先取后排法例10．有5个男生和3个女生，从中选5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。⑴有女生但人数少于男生⑵某女生一定要担任语文科代表。⑶某男生必须在内，但不担任数学科代表。⑷某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科代表。分析：比较复杂的排列组合混合问题，一般要遵循先取后排的原则。-4-解：⑴可分为1女4男和2女3男，共计不同的选法种数为4535234513CCCC，任科代表种数为5545A，即（5535234513)ACCCC=5400⑵某女生一定要担任语文科代表，余4门科代表从余下的7人中任选有84047A种。⑶某男生从除数学外四科中任选一科代表有14C，余4科从余下的7人中任选共有不同种数为33604714AC⑷某女生任语文科代表，某男生从余下313C种（数学除外）中任一科有13C种，余3科代表由余下6人中选项任，共计不同安排总数为3603613AC种。九、转化法例11．将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每校至少1个保额，问名额分配的方法共有多少种？解：问题等价于将排成一行的12个相同元素分成7份的方法数，相当于用6块隔板插在11个间隔中，共有462611C种不同的方法。例12．10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同跨法？解：由题意知要有4步单级、3步双级，因此，这是两类不同元素的排列，问题等价于只要在7步中任意选3步双级即可。故3537C种。十、隔板法例1320个相同的球分放在三个盒中，不允许有盒不放球，有多少种分法？解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中，规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别放在三个盒中，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为C219种方法。练一练（1）7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子里,则问每个盒子都不空的放法共有（）种（2）15个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个盒中，要求盒中的球数不少于编号数，问有多少种不同的放法。（3）要从7所学校选出10人参加素质教育研讨会，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有多少种不同的分配方法？（4）将组成蓝球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1人，问名额的分配方式共有多少种462611C种不同的方法。（5）马路上有编号为1，2，3，4，5，。。。10盏路灯，现要关掉其中3盏，但不能同时关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足条件的关灯方法有（20）种。用隔板法处理该题．(6)6个人带10汽水去春游,每人至少带一瓶,一共有多少种携带方法(27)-5-十一、定序问题倍缩法1、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（C）A.20种B.30种C.40种D.60种212名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(C)A．2283CAB．2686CAC．2286CAD．2285CA3在100,101,102,,,,,999之中,由三个不同数码按递增或递减的次序排列成三位数的个数是204个4某仪表显示屏上一排有7个小孔,每个小孔可以显示出0或1,若每次显示出其中的3个孔,但相邻的两个孔不能同时显示,则这个显示屏可以显示的不同信号种数是(80)十二均分与不均分的分组问题,定向与不定向的分配问题1.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A)（A）124414128CCC（B）124414128CAA（C）12441412833CCCA（D）12443141283CCCA2.从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（B）A．300种B．240种C．144种D．96种3.将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（A）A．70B．140C．280D．8404.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（D）A．10100610480CCCB．10100410680CCCC．10100620480CCCD．10100420680CCC5．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有(D)-6-A.16种B.36种C.42种D.60种6．将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有选B.（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种7．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（B）A．40种B．60种C．100种D．120种（8）某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）种A、36种B、38种C.、108种D、24种（9）将5名志愿者分配给3个不同的奥运场馆参加接持工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种