（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题一 三角 第三讲 大题考法——解三角形课件

——解三角形大题考法三讲第三角变换与解三角形的综合问题题型(一)主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小(或三角函数值)，且常与三角恒等变换综合考查.[典例感悟][例1](2018·南京学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝45.(1)若c＝2a，求sinBsinC的值；(2)若C－B＝π4，求sinA的值．[解](1)法一(角化边)：在△ABC中，因为cosB＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45.因为c＝2a，所以c22＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510.又由正弦定理得，sinBsinC＝bc，所以sinBsinC＝3510.法二(边化角)：因为cosB＝45，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝35.因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝65cosC＋85sinC，即－sinC＝2cosC.又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝255，所以sinBsinC＝3510.(2)因为cosB＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725.又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝35，所以sin2B＝2sinBcosB＝2×35×45＝2425.因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，所以sinA＝sin3π4－2B＝sin3π4cos2B－cos3π4sin2B＝22×725－－22×2425＝31250.[方法技巧]三角变换与解三角形综合问题求解策略(1)三角变换与解三角形综合问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC,以及在△ABC中，AB⇔sinAsinB等．[演练冲关]1．(2019·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝2，cosB＝23，求c的值；(2)若sinAa＝cosB2b，求sinB＋π2的值．解：(1)因为a＝3c，b＝2，cosB＝23，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac，即23＝（3c）2＋c2－（2）22×3c×c，解得c2＝13.所以c＝33.(2)因为sinAa＝cosB2b，由正弦定理asinA＝bsinB，得cosB2b＝sinBb，所以cosB＝2sinB.从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝45.因为sinB0，所以cosB＝2sinB0，从而cosB＝255.因此sinB＋π2＝cosB＝255.2．在△ABC中，AC＝6，cosB＝45，C＝π4.(1)求AB的长；(2)求cosA－π6的值．解：(1)因为cosB＝45，0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝1－452＝35.由正弦定理知ACsinB＝ABsinC，所以AB＝AC·sinCsinB＝6×2235＝52.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－cosB＋π4＝－cosBcosπ4＋sinBsinπ4.又cosB＝45，sinB＝35，故cosA＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A＜π，所以sinA＝1－cos2A＝7210.因此，cosA－π6＝cosAcosπ6＋sinAsinπ6＝－210×32＋7210×12＝72－620.解三角形与平面向量结合题型(二)主要考查以平面向量的线性运算和数量积为背景的解三角形问题.[典例感悟][例2](2018·盐城模拟)设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积的大小为S，3AB―→·AC―→＝2S.(1)求sinA的值；(2)若C＝π4，AB―→·AC―→＝16，求b.[解](1)由3AB―→·AC―→＝2S，得3bccosA＝2×12bcsinA，即sinA＝3cosA.整理化简得sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)，所以sin2A＝910.又A∈(0，π)，所以sinA0，故sinA＝31010.(2)由sinA＝3cosA和sinA＝31010，得cosA＝1010，又AB―→·AC―→＝16，所以bccosA＝16，得bc＝1610.①又C＝π4，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝31010×22＋1010×22＝255.在△ABC中，由正弦定理bsinB＝csinC，得b255＝c22，即c＝104b.②联立①②得b＝8.[方法技巧]解三角形与平面向量综合问题的求解策略(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．[演练冲关]1．(2018·南通三调)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝cosA＋π3，sinA＋π3，n＝(cosB，sinB)，且m⊥n.(1)求A－B的值；(2)若cosB＝35，AC＝8，求BC的长．解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝cosA＋π3cosB＋sinA＋π3sinB＝cosA＋π3－B＝0，又A，B∈0，π2，所以A＋π3－B∈－π6，5π6，所以A＋π3－B＝π2，即A－B＝π6.(2)因为cosB＝35，B∈0，π2，所以sinB＝45.所以sinA＝sinB＋π6＝sinBcosπ6＋cosBsinπ6＝45×32＋35×12＝43＋310.由正弦定理，得BC＝sinAsinB×AC＝43＋31045×8＝43＋3.2．(2019·南京盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，且2S＝AB―→·AC―→.(1)求角A的大小；(2)若c＝7，cosB＝45，求a的值．解：(1)由2S＝AB―→·AC―→，得bcsinA＝bccosA，因为A∈(0，π)，所以tanA＝1，A＝π4.(2)在△ABC中，cosB＝45，所以sinB＝35，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝7210.由正弦定理asinA＝csinC，得a22＝77210，解得a＝5.以平面图形为背景的解三角形问题题型(三)此类问题的本质还是主要考查利用正、余弦定理求解三角形或多边形的边长、角度和面积的问题.[典例感悟][例3](2018·南通调研)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b(sinC＋cosC)．(1)求∠ABC；(2)若∠A＝π2，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．[解](1)在△ABC中，因为a＝b(sinC＋cosC)，所以sinA＝sinB(sinC＋cosC)，所以sin(B＋C)＝sinB(sinC＋cosC)，所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBsinC＋sinBcosC,所以cosBsinC＝sinBsinC，又因为C∈(0，π)，故sinC≠0，所以cosB＝sinB，即tanB＝1.又B∈(0，π)，所以B＝π4，即∠ABC＝π4.(2)在△BCD中，DB＝2，DC＝1，BC2＝12＋22－2×1×2×cosD＝5－4cosD.又A＝π2，由(1)可知∠ABC＝π4，所以△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝12×BC×12×BC＝14BC2＝54－cosD，又S△BDC＝12×BD×DC×sinD＝sinD,所以S四边形ABDC＝54－cosD＋sinD＝54＋2sinD－π4.所以当D＝3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54＋2.[方法技巧]以平面图形为背景的解三角形问题的求解思路建联系在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何量集中到某一个三角形用定理①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理[演练冲关]1．(2019·姜堰中学模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝2∠BAD，BD＝2，AB＝6，cos∠BCD＝－13.(1)求AD的长；(2)求cos∠CBD.解：(1)因为∠BCD＝2∠BAD，所以cos∠BCD＝2cos2∠BAD－1＝－13，得cos2∠BAD＝13.因为∠BAD∈0，π2，所以cos∠BAD＝33.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠BAD，即4＝AD2＋6－2AD×6×33，得AD＝2.(2)由(1)可得AD2＋BD2＝AB2，所以∠ADB＝π2，所以sin∠ABD＝33，cos∠ABD＝63.因为AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，所以sin∠BDC＝33，cos∠BDC＝63，所以cos∠CBD＝－cos(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDsin∠BDC－cos∠BCDcos∠BDC＝223×33＋13×63＝63.2．(2018·盐城中学调研)如图，在△ABC中，B＝π3，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．(1)若△BCD的面积为33，求CD的长；(2)若ED＝62，求A的大小．解：(1)由已知得S△BCD＝12BC·BD·sinB＝33，又BC＝2，B＝π3，∴BD＝23，在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝289，∴CD＝273.(2)在Rt△CDE中，CD＝DEsin∠DCE.∵AD＝DC，∴A＝∠DCE，∴CD＝DEsinA＝62sinA.在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsinB，又∠BDC＝2A，得2sin2A＝CDsinπ3，∴CD＝3sin2A，∴CD＝62sinA＝3sin2A，解得cosA＝22，∴A＝π4.