（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题一 三角 第二讲 小题考法——平面向量课件

——平面向量小题考法二讲第平面向量的概念及线性运算考点(一)主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.[题组练透]1．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若DE―→＝λ1AB―→＋λ2AC―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：如图，DE―→＝BE―→－BD―→＝23BC―→－12BA―→＝23(AC―→－AB―→)＋12AB―→＝12－23AB―→＋23AC―→.又DE―→＝λ1AB―→＋λ2AC―→，且AB―→与AC―→不共线．所以λ1＝12－23，λ2＝23，所以λ1＋λ2＝12.答案：122．(2019·无锡期末)在四边形ABCD中，已知AB―→＝a＋2b，BC―→＝－4a－b，CD―→＝－5a－3b，其中a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是________．解析：AD―→＝AB―→＋BC―→＋CD―→＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)，所以AD―→＝2BC―→，即AD∥BC，且AD＝2BC，所以四边形ABCD是梯形．答案：梯形3．(2018·南京考前模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端点)，若AC―→＝λAM―→＋μAN―→，则1λ＋3μ的最小值为________．解析：以A为坐标原点，AB为x轴建立直角坐标系如图所示，设B(2，0)，C(1，t)，M12，t，N(x0，y0)，因为N在线段BC上，所以y0＝t1－2(x0－2)，即y0＝t(2－x0)，因为AC―→＝λAM―→＋μAN―→，所以1＝12λ＋μx0，t＝λt＋μy0，即t＝λt＋μy0＝λt＋μt(2－x0)，因为t≠0，所以1＝λ＋μ(2－x0)＝λ＋2μ－μx0＝λ＋2μ－1－12λ，所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以41λ＋3μ＝(3λ＋4μ)1λ＋3μ＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27，所以1λ＋3μ≥274，当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号．所以1λ＋3μ的最小值为274.答案：274[方法技巧]向量线性运算问题的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)用几个基本向量表示某个向量的基本思路：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(3)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．考点(二)平面向量的数量积主要考查数量积的运算、夹角以及模的计算问题或求参数的值.[题组练透]1．已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为（3e1－e2）·（e1＋λe2）|3e1－e2|·|e1＋λe2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：332．(2019·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若AB―→·AC―→＝6AO―→·EC―→，则ABAC的值是________．解析：法一：如图①，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点．又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有AO―→＝12AD―→＝14(AB―→＋AC―→)，EC―→＝AC―→－AE―→＝AC―→－13AB―→，所以6AO―→·EC―→＝32(AB―→＋AC―→)·AC―→－13AB―→＝32AC―→2－12AB―→2＋AB―→·AC―→＝AB―→·AC―→，整理可得AB―→2＝3AC―→2，所以ABAC＝3.法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图②所示．设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，Da＋32，b2.lAD：y＝ba＋3x，lCE：y＝ba－1（x－1）⇒Oa＋34，b4.∵AB―→·AC―→＝6AO―→·EC―→，∴(3，0)·(a，b)＝6a＋34，b4·(a－1，b)，即3a＝6（a＋3）（a－1）4＋b24，∴a2＋b2＝3，∴AC＝3.∴ABAC＝33＝3.答案：33．(2019·南京盐城二模)已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(PB―→＋PC―→)·AD―→＝42.若AD＝2，则PB―→·PC―→的值为________．解析：法一：由AD为Rt△ABC的斜边BC上的高，得PD―→·DC―→＝PD―→·DB―→＝0，因为(PB―→＋PC―→)·AD―→＝42，所以(2PD―→＋DB―→＋DC―→)·AD―→＝42，即PD―→·AD―→＝22，即|PD―→|·|AD―→|cos0＝22，所以|PD―→|＝2，所以PB―→·PC―→＝(PD―→＋DB―→)·(PD―→＋DC―→)＝PD―→2＋DB―→·DC―→＝PD―→2＋|DB―→|·|DC―→|cosπ＝PD―→2－|DB―→|·|DC―→|＝PD―→2－|DA―→|2＝4－2＝2.法二：因为AD⊥BC于D，所以以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系xDy，设B(m，0)，C(n，0)，P(0，t)，则PB―→＝(m，－t)，PC―→＝(n，－t)，因为AD＝2，所以A(0，2)，所以AD―→＝(0，－2)．由(PB―→＋PC―→)·AD―→＝42，得t＝2，又AB―→·AC―→＝0，所以mn＝－2，所以PB―→·PC―→＝mn＋t2＝－2＋4＝2.答案：24．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则AC―→·BD―→的值为________．解析：法一：因为AB―→＋BC―→＋CD―→＋DA―→＝0，则AB―→＋BC―→＋CD―→＝－DA―→，平方得AB―→2＋BC―→2＋CD―→2＋2(AB―→·BC―→＋BC―→·CD―→＋CD―→·AB―→)＝(－DA―→)2＝DA―→2，即AB―→·BC―→＋BC―→·CD―→＋CD―→·AB―→＝－6，则AC―→·BD―→＝(AB―→＋BC―→)·(BC―→＋CD―→)＝AB―→·BC―→＋BC―→·CD―→＋CD―→·AB―→＋BC―→2＝－6＋16＝10.法二：如图，取AC中点O，连结BO，DO.所以AC―→·BD―→＝AC―→·(BO―→＋OD―→)＝AC―→·BO―→＋AC―→·OD―→＝12(BC―→－BA―→)·(BC―→＋BA―→)－12(DC―→－DA―→)·(DC―→＋DA―→)＝12(BC―→2－BA―→2－DC―→2＋DA―→2)＝12×(16－1－4＋9)＝10.答案：10[方法技巧]平面向量数量积相关问题的求解策略(1)夹角和模的问题的处理方法，一是转为基底向量结合数量积的定义进行运算；二是建立坐标系用坐标公式求解．(2)平面向量的数量积可以用定义结合基底向量求解，也可以建立坐标系用坐标公式求解．(3)对于极化恒等式：a·b＝a＋b22－a－b22.在△ABC中，若M是BC的中点，则AB―→·AC―→＝AM―→2－MC―→2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．从而避开求向量的夹角.平面向量的综合问题考点(三)主要考查与平面向量数量积有关的最值(范围)问题或参数求值问题.[典例感悟][典例](1)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对于一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a与b的夹角大小为________．(2)(2018·苏州期末)如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF︵上的一动点，则PB―→·PC―→的取值范围是________．[解析]（1）法一：将|a＋xb|≥|a＋b|两边平方可得：2＋2xa·b＋x2≥2＋2a·b＋1，即x2＋2a·bx－2a·b－1≥0对于x∈R恒成立，Δ＝4(a·b)2＋8a·b＋4≤0，即4(a·b＋1)2≤0，所以a·b＝－1，即cosθ＝－12＝－22，所以a，b夹角为3π4.法二：如图，令OA―→＝a，AP―→＝xb(P为直线l上任意一点)，则OP―→＝a＋xb，所以|a＋xb|＝OP的最小值即O到直线l的距离OH，即OH＝|a＋b|，即OH―→＝a＋b，所以b＝AH―→.在直角三角形OHA中，AH＝1，OA＝2，cos∠HOA＝22，即∠HOA＝π4，所以a，b夹角为3π4.（2）法一(几何法)：如图，取BC的中点M，连结PM，PB―→·PC―→＝(PM―→－MC―→)·(PM―→＋MC―→)＝PM―→2－MC―→2.因为MC为定值，所以PB―→·PC―→的变化可由PM的变化确定．易得AM＝2，MC＝23.当P为劣弧EF︵与AM的交点时，PM取最小值AM－1＝1；PM的最大值为EM＝FM＝3.所以PM2－MC2的取值范围是[－11，－9]，即PB―→·PC―→∈[－11，－9]．法二(坐标法)：以A为坐标原点，垂直于BC的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则B(2，－23)，C(2，23)，设P(cosθ，sinθ)，其中θ∈－π3，π3.所以PB―→·PC―→＝(2－cosθ，－sinθ－23)·(2－cosθ，23－sinθ)＝(cosθ－2)2＋sin2θ－12＝－7－4cosθ.因为cosθ∈12，1，所以PB―→·PC―→∈[－11，－9]．[答案](1)3π4(2)[－11，－9][方法技巧]平面向量有关最值(范围)问题求解的2种思路形化即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断数化即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决[演练冲关]1．已知|OA―→|＝|OB―→|＝2，且OA―→·OB―→＝1.若点C满足|OA―→＋CB―→|＝1，则|OC―→|的取值范围是________．解析：如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则OD―→＝OA―→＋OB―→，因为|OA―→|＝|OB―→|＝2，OA―→·OB―→＝1，所以|OD―→|＝|OA―→＋OB―→|＝（OA―→＋OB―→）2＝OA―→2＋OB―→2＋2OA―→·OB―→＝6，由|OA―→＋CB―→|＝1得|OA―→＋CB―→|＝|OA―→＋OB―→－OC―→|＝|OD―→－OC―→|＝|CD―→|＝1，所以点C在以点D为圆心，1为半径的圆上，而|OC―→|表示点C到点O的距离，从而|OD―→|－1≤|OC―→|≤|OD―→|＋1，即6－1≤|OC―→|≤6＋1，即|OC―→|的取值范围是[6－1，6＋1]．答案：[6－1，6＋1]2．(2019·苏州期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的动点，且BM＋DN＝MN，则AM―→·AN―→的最小值是________．解析：法一：由题意，以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点M(2，m)，N(n，2)，其中0≤m≤2，0≤n≤2，则向量AM―→＝(2，m)，AN―→＝(n，2)，所以AM―→·AN―→＝(2，m)·(n，2)＝2n＋2m.由BM＋DN＝MN，知m＋n＝（m－2）2＋（2－n）2，整理得2(m＋n)＋mn－4＝0，又由0＝2(m＋n)＋mn－4≤2(m＋n)＋