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数列题四专[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点等差数列的基本量计算(5年3考)等比数列的基本量计算(5年2考)近几年的数列解答题，其常规类型可以分为两类：一类是判断、证明某个数列是等差、等比数列(如2017年T19)；另一类是已知等差、等比数列求基本量，这个基本量涵义很广泛，指定的项ak、项数n、公差d、公比q、通项an、和式Sn以及它们的组合式，甚至还包括相关参数(如2018年T20，2019年T20).数列的压轴题还对代数推理能力要求较高，其中数列与不等式的结合(如2018年T20，2016年T20)；数列与方程的结合(如2015年T20)．这些压轴题难度很大，综合能力要求较高.偶考点等差、等比数列的性质及最值问题——数列中的基本量计算小题考法一讲第考点(一)主要考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及有关的五个基本量间的“知三求二”运算.等差、等比数列的基本运算[题组练透]1．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．解析：法一：由S9＝27⇒9（a1＋a9）2＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒2a1＋8d＝6，所以a1＋4d＝3，即a5＝3.又a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，解得a1＝－5，d＝2.故S8＝8a1＋8×（8－1）2d＝16.法二：同法一得a5＝3.又a2a5＋a8＝0⇒3a2＋a8＝0⇒2a2＋2a5＝0⇒a2＝－3.∴d＝a5－a23＝2，a1＝a2－d＝－5.故S8＝8a1＋8×（8－1）2d＝16.答案：162．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则S3＝a1（1－q3）1－q＝74，S6＝a1（1－q6）1－q＝634，解得q＝2，a1＝14，则a8＝a1q7＝14×27＝32.答案：323．(2019·江苏苏锡常镇四市调研)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10S5＝4，则4a1d＝________．解析：由S10S5＝4得S10＝4S5，即10a1＋45d＝4(5a1＋10d)，化简得2a1＝d，则4a1d＝2.答案：24．(2019·江苏南师大附中期中改编)已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若S2＝34，S4＝154，则an＝________．解析：由题知数列{an}为等比数列，公比q0且q≠1，由S2＝34，S4＝154得a1（1－q2）1－q＝34，a1（1－q4）1－q＝154，解得a1＝14，q＝2，故an＝a1qn－1＝14×2n－1＝2n－3.答案：2n－35．(2019·南京盐城一模)已知等比数列{an}为递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则由题意得a1q＝2，a1＋a1q＋a1q2＝7，得a1＝4，q＝12或a1＝1，q＝2，因为数列{an}为递增数列，所以a1＝1，q＝2，所以a5＝a1q4＝16.答案：16[方法技巧]等差(比)数列基本运算的策略(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换法的使用，以减少计算量.考点(二)主要考查等差、等比数列的性质及与前n项和有关的最值问题.等差、等比数列的性质[题组练透]1．(2019·南京三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n－1，n∈N*.若bn＝log3an，则b1＋b2＋b3＋b4的值为________．解析：法一：当n＝1时，a1＝S1＝1，所以b1＝log3a1＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－12－3n－1－12＝3n－1，所以bn＝log3an＝n－1(n≥2)．又b1＝0，所以bn＝n－1，所以b1＋b2＋b3＋b4＝4×（0＋3）2＝6.法二：当n＝1时，a1＝S1＝1，所以b1＝log3a1＝0.当n＝2时，a2＝S2－S1＝32－12－1＝3，所以b2＝log3a2＝1.当n＝3时，a3＝S3－S2＝13－4＝9，所以b3＝2.当n＝4时，a4＝S4－S3＝40－13＝27，所以b4＝3.所以b1＋b2＋b3＋b4＝0＋1＋2＋3＝6.答案：62．(2019·扬州期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值为________．解析：∵S3＝S11，∴S11－S3＝a4＋a5＋a6＋…＋a11＝0，故可得(a4＋a11)＋(a5＋a10)＋(a6＋a9)＋(a7＋a8)＝4(a7＋a8)＝0，∴a7＋a8＝0.结合a1＝13可知，该数列的前7项均为正数，从第8项开始为负数，故数列的前7项和最大．答案：73．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，则a1a17a9＝________．解析：由题知，a3＋a15＝60，a3a15＝80，则a30，a150，由等比数列的性质知a1a17＝a3a15＝8＝a29⇒a9＝±22.设等比数列{an}的公比为q，则a9＝a3q60，故a9＝22，故a1a17a9＝822＝22.答案：224．(2019·南京四校联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝3，a4＝27，S2n为该数列的前2n项和，Tn为数列{anan＋1}的前n项和，若S2n＝kTn，则实数k的值为________．解析：法一：因为各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝3，a4＝27，所以a1＝1，公比q＝3，所以S2n＝1×（1－32n）1－3＝32n－12，an＝3n－1，令bn＝anan＋1＝3n－1·3n＝32n－1，所以b1＝3，数列{bn}为等比数列，公比q′＝9，所以Tn＝3×（1－9n）1－9＝3（32n－1）8.因为S2n＝kTn，所以32n－12＝k·3（32n－1）8，解得k＝43.法二：因为各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝3，a4＝27，所以a1＝1，公比q＝3.注意到S2＝4，T1＝3；S4＝40，T2＝30；…，由此归纳可得k＝43.答案：435．(2019·苏州期末)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S5S10＝13，则S5S20＋S10＝________．解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，若公比q为1，则S5S10＝12，与已知条件不符，所以公比q≠1，所以Sn＝a1（1－qn）1－q，因为S5S10＝13，所以1－q51－q10＝13，所以q5＝2，所以S5S20＋S10＝1－q51－q20＋1－q10＝1－21－24＋1－22＝118.法二：因为S5S10＝13，所以不妨设S5＝a，S10＝3a，a≠0，易知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比数列，由S5＝a，S10－S5＝2a，得S15－S10＝4a，S20－S15＝8a，从而S20＝15a，所以S5S20＋S10＝a15a＋3a＝118.答案：118[方法技巧]等差、等比数列性质问题求解策略(1)等差、等比数列性质的应用的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”这一性质与求和公式Sn＝n（a1＋an）2的综合应用．等差、等比数列的判断考点(三)主要考查利用某些基本量判断数列的类型.[典例感悟][典例](2019·南通等七市一模)已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|an|}是等比数列；②数列{anan＋1}是等比数列；③数列1an是等比数列；④数列{lga2n}是等比数列．其中正确的命题有________个．[解析]设等比数列{an}的公比为q，则an＋1an＝q，|an＋1||an|＝|q|，故数列{|an|}是等比数列，①正确；an＋1an＋2anan＋1＝q2，则数列{anan＋1}是等比数列，②正确；1an＋11an＝1q，则数列1an是等比数列，③正确；若an＝1，则lga2n＝0，数列{lga2n}不是等比数列，④错误．故正确的命题有3个．[答案]3[方法技巧]1．判断等差数列的常用方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．2．判断等比数列的常用方法(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．[演练冲关]若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，则下列四个命题：①{an}是递减等差数列；②{an}是递增等差数列；③{an}是递减等比数列；④{an}是递增等比数列．其中正确命题的序号为________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.当n＝1时，也满足上式，∴an＝6n－5.∵首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)，∴数列{an}是等差数列，且公差为6＞0.∴{an}为递增数列．答案：②必备知能·自主补缺(一)主干知识要记牢1．等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n项和公式Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d(1)q≠1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q；(2)q＝1，Sn＝na12．等差数列(1)a，b，c成等差数列是2b＝a＋c的充要条件．(2)等差中项的推广：an＝an＋p＋an－p2(n≥2，np)．(3)等差数列的单调性由数列的单调性定义，易得{an}为递增数列⇔d0；{an}为递减数列⇔d0；{an}为常数列⇔d＝0.(4)构造新数列若数列{an}，{bn}都是等差数列且项数相同，则{kbn}，{an＋bn}，{an－bn}，{pan＋qbn}都是等差数列．3．等比数列(1)a，b，c成等比数列是b2＝a·c的充分不必要条件．(2)推广：等比数列{an}中，an是与an前后等距离的两项an－p，an＋p的等比中项，即a2n＝an－p·an＋p(n≥2且np)．(3)等比数列的单调性由数列的单调性定义，易得{an}为递增数列⇔a10，q1或a10，0q1；{an}为递减数列⇔a10，q1或a10，0q1；{an}为常数列⇔q＝1；{an}为摆动数列⇔q0.(4)构造新数列：①若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．②若{an}是等比数列，且an＞0，则{logaan}(a＞0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．(二)二级结论要用好1．等差数列的重要规律与推论(1)p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.(3)连续k项的和(如Sk，S2