(江苏专用)2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何 第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题课件

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解析几何题三专[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)本单元主要考查直线与椭圆(2015年、2017年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、面积问题等;有时考查直线与圆(如2016年),经常与向量结合在一起命题.偶考点直线的方程、圆的方程——解析几何中的基本问题小题考法一讲第直线、圆的方程考点(一)主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.[题组练透]1.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.解析:法一:由题意可设Px0,x0+4x0(x00),则点P到直线x+y=0的距离d=x0+x0+4x02=2x0+4x02≥22x0·4x02=4,当且仅当2x0=4x0,即x0=2时取等号.故所求最小值是4.法二:设Px0,4x0+x0(x00),由y=x+4x得y′=1-4x2,则曲线在点P处的切线的斜率为k=1-4x20.令1-4x20=-1,结合x00得x0=2,∴P(2,32),曲线y=x+4x(x0)上的点P到直线x+y=0的最短距离即为此时点P到直线x+y=0的距离,故dmin=|2+32|2=4.答案:42.(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中,过点A(1,3),B(4,6),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为________.解析:法一:根据圆经过点A(1,3),B(4,6),知圆心在线段AB的垂直平分线上,由点A(1,3),B(4,6),知线段AB的垂直平分线方程为x+y-7=0,则由x-2y-1=0,x+y-7=0,得x=5,y=2,即圆心坐标为(5,2),所以圆的半径r=(5-1)2+(2-3)2=17,故圆的标准方程为(x-5)2+(y-2)2=17.法二:因为圆心在直线x-2y-1=0上,所以圆心坐标可设为(2a+1,a),又圆经过点A(1,3),B(4,6),所以圆的半径r=(2a+1-1)2+(a-3)2=(2a+1-4)2+(a-6)2,解得a=2,所以r=17,故圆的标准方程为(x-5)2+(y-2)2=17.法三:设圆心的坐标为(a,b),半径为r(r>0),因为圆心在直线x-2y-1=0上,且圆经过点A(1,3),B(4,6),所以a-2b-1=0,(a-1)2+(b-3)2=(a-4)2+(b-62)=r2,得a=5,b=2,r=17,故圆的标准方程为(x-5)2+(y-2)2=17.答案:(x-5)2+(y-2)2=173.(2019·扬州期末)若直线l1:x-2y+4=0与l2:mx-4y+3=0平行,则两平行直线l1,l2间的距离为________.解析:法一:若直线l1:x-2y+4=0与l2:mx-4y+3=0平行,则有m1=-4-2≠34,求得m=2,故两平行直线l1,l2间的距离为|8-3|22+(-4)2=52.法二:若直线l1:x-2y+4=0与l2:mx-4y+3=0平行,则有m1=-4-2≠34,求得m=2,所以直线l2:2x-4y+3=0,在l1:x-2y+4=0上取一点(0,2),则两平行直线l1,l2间的距离就是点(0,2)到直线l2的距离,即|0-4×2+3|22+(-4)2=52.答案:52[方法技巧]1.求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式,由题设条件直接求出方程中系数,写出结果待定系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有待定系数,再由题设条件构建方程,求出待定系数2.圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系,以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.[典例感悟][典例](1)(2018·无锡期末)过圆O:x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ACBD的面积为________.(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为________.[解析](1)设O到AB的距离为d1,O到CD的距离为d2,则由垂径定理可得d21=r2-AB22,d22=r2-CD22,由于AB=CD,故d1=d2,且d1=d2=22OP=262,所以AB22=r2-d21=16-132=192,得AB=38,从而四边形ACBD的面积为S=12AB×CD=12×38×38=19.(2)法一(几何法):因为A(-4,0),B(0,4),所以直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),C(x1,y1),D(x2,y2),所以PC的方程为x1x+y1y=4,PD的方程为x2x+y2y=4,将P(a,a+4)分别代入PC,PD的方程,得ax1+(a+4)y1=4,ax2+(a+4)y2=4,则直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,所以x+y=0,4-4y=0,所以直线CD过定点N(-1,1),又因为OM⊥CD,所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点).又因为以ON为直径的圆的方程为x+122+y-122=12,因为A在该圆外,所以AM的最大值为-4+122+122+22=32.法二(参数法):同法一可知直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,得a=4-4yx+y.又因为O,P,M三点共线,所以ay-(a+4)x=0,得a=4xy-x.因为a=4-4yx+y=4xy-x,所以点M的轨迹方程为x+122+y-122=12(除去原点),因为A在该圆外,所以AM的最大值为-4+122+122+22=32.[答案](1)19(2)32[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.(2)解决直线与圆相关的最值问题:一是利用几何性质,如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值;二是建立函数或利用基本不等式求解.(3)对于直线与圆中的存在性问题,可以利用所给几何条件和等式,得出动点轨迹,转化为直线与圆、圆与圆的位置关系.[演练冲关]1.(2019·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=1,圆C:(x-4)2+y2=4.若存在过点P(m,0)的直线l,直线l被两圆截得的弦长相等,则实数m的取值范围是________.解析:由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0),圆心O,C到直线l的距离分别为d1,d2,则由直线l与圆O相交得d1=|km|k2+1<1,得m2<1+1k2.由直线l被两圆截得的弦长相等得1-d21=4-d22,则d22-d21=3,即(4k-km)2k2+1-k2m2k2+1=3,化简得m=138-38k2,则m<138-38(m2-1),即3m2+8m-16<0,所以-4<m<43.答案:-4,432.(2019·南京盐城一模)设M={(x,y)|3x+4y≥7},点P∈M,过点P引圆(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PA,PB(A,B均为切点),若∠APB的最大值为π3,则r的值为________.解析:由题意知点P位于直线3x+4y-7=0上或其上方,记圆(x+1)2+y2=r2(r>0)的圆心为C,则C(-1,0),C到直线3x+4y-7=0的距离d=|-3-7|32+42=2,连接PC,则PC≥2.设∠APB=θ,则sinθ2=rPC,因为θmax=π3,所以sinθ2max=rPCmin=r2=12,所以r=1.答案:13.(2019·苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2+2mx-(4m+6)y-4=0(m∈R)与以C2(-2,3)为圆心的圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足x21-x22=y22-y21,则实数m的值为________.解析:由题意得C1(-m,2m+3),C2(-2,3).由x21-x22=y22-y21,得x21+y21=x22+y22,即OA=OB,所以△OAB为等腰三角形,所以线段AB的垂直平分线经过原点O,又相交两圆的圆心连线垂直平分公共弦AB,所以两圆的圆心连线C1C2过原点O,所以OC1∥OC2,所以-3m=-2(2m+3),解得m=-6.答案:-64.(2019·常州期末)过原点O的直线l与圆x2+y2=1交于P,Q两点,点A是该圆与x轴负半轴的交点,以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N,且直线AN与直线AP的斜率之积等于1,那么直线l的方程为________.解析:易知A(-1,0).因为PQ是圆O的直径,所以AP⊥AQ.以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N,则AN⊥NQ,所以kAN=-1kNQ=-1kPO,又直线AN与直线AP的斜率之积等于1,所以kANkAP=1,所以kAP=-kPO,所以∠OAP=∠AOP,所以点P为OA的垂直平分线与圆O的交点,则P-12,±32,所以直线l的方程为y=±3x.答案:y=±3x5.(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C:(x+4)2+(y-a)2=16上的两个动点,且AB=211.若直线l:y=2x上存在唯一的一个点P,使得PA―→+PB―→=OC―→,则实数a的值为________.解析:法一:设AB的中点为M(x0,y0),P(x,y),则由AB=211,得CM=16-11=5,即点M的轨迹为(x0+4)2+(y0-a)2=5.又因为PA―→+PB―→=OC―→,所以PM―→=12OC―→,即(x0-x,y0-y)=-2,a2,从而x0=x-2,y0=y+a2,则动点P的轨迹方程为(x+2)2+y-a22=5,又因为直线l上存在唯一的一个点P,所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切,则-4-a222+(-1)2=5,解得a=2或a=-18.法二:由题意,圆心C到直线AB的距离d=16-11=5,则AB中点M的轨迹方程为(x+4)2+(y-a)2=5.由PA―→+PB―→=OC―→,得2PM―→=OC―→,所以PM―→∥OC―→.如图,连结CM并延长交l于点N,则CN=2CM=25.故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N,使得CN=25,所以点C到直线l的距离为|2×(-4)-a|22+(-1)2=25,解得a=2或a=-18.答案:2或-18圆锥曲线的方程及几何性质考点(三)主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质,在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.[题组练透]1.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是______.解析:因为双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),所以9-16b2=1(b0),解得b=2,即双曲线方程为x2-y22=1,其渐近线方程为y=±2x.答案:y=±2x2.(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中,中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-3,1),则该双曲线的离心率为______.

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