（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题七 随机变量、空间向量 第二讲 运用空间向量求角课件 理

运用空间向量求角二讲第运用空间向量求两直线所成的角题型(一)主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角.[典例感悟][例1](2019·南京盐城一模)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2)求二面角B­EC­D的余弦值．[解](1)因为PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，又PA＝AB＝2，AD＝1，所以B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，因为E是棱PB的中点，所以E22，0，22，所以EC―→＝22，1，－22，PD―→＝(0，1，－2)，所以cos〈EC―→，PD―→〉＝1＋112＋1＋12×1＋2＝63，所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为63.(2)由(1)得EC―→＝22，1，－22，BC―→＝(0，1，0)，DC―→＝(2，0，0)．设平面BEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·EC―→＝0，n1·BC―→＝0，所以22x1＋y1－22z1＝0，y1＝0，得y1＝0，令x1＝1，则z1＝1，所以平面BEC的一个法向量为n1＝(1，0，1)．设平面DEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则n2·EC―→＝0，n2·DC―→＝0，所以22x2＋y2－22z2＝0，2x2＝0，得x2＝0，令z2＝2，则y2＝1，所以平面DEC的一个法向量为n2＝(0，1，2)．所以cos〈n1，n2〉＝21＋1×1＋2＝33.由图可知二面角B­EC­D为钝二面角，所以二面角B­EC­D的余弦值为－33.[方法技巧]1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝|a·b||a||b|其中φ为异面直线a，b所成的角φ∈0，π2.2．用向量法求异面直线所成角的四步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．[演练冲关](2019·苏北三市一模)如图，在三棱锥D­ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．(1)求异面直线AE与BC所成角的余弦值；(2)求二面角A­CE­B的余弦值．解：因为DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz.因为AC＝AD＝1，AB＝2，所以A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，1)．因为点E为线段BD的中点，所以E0，1，12.(1)AE―→＝0，1，12，BC―→＝(1，－2，0)．所以cos〈AE―→，BC―→〉＝AE―→·BC―→|AE―→||BC―→|＝－254×5＝－45，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为45.(2)设平面ACE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为AC―→＝(1，0，0)，AE―→＝0，1，12，所以n1·AC―→＝0，n1·AE―→＝0，即x1＝0且y1＋12z1＝0，取y1＝1，得z1＝－2，所以n1＝(0，1，－2)是平面ACE的一个法向量．设平面BCE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，因为BC―→＝(1，－2，0)，BE―→＝0，－1，12，所以n2·BC―→＝0，n2·BE―→＝0，即x2－2y2＝0且－y2＋12z2＝0，取y2＝1，得x2＝2，z2＝2，所以n2＝(2，1，2)是平面BCE的一个法向量．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－35×9＝－55.由图易知二面角A­CE­B为钝二面角，所以二面角A­CE­B的余弦值为－55.运用空间向量求直线和平面所成的角题型(二)考查用直线的方向向量与平面的法向量计算直线与平面所成的角.[典例感悟][例2](2019·常州期末)如图，在空间直角坐标系O­xyz中，已知正四棱锥P­ABCD的高OP＝2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB＝2，点M是棱PC的中点．(1)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；(2)求二面角A­PB­C的余弦值．[解](1)设直线AM与平面PAB所成的角为α，易知A(0，－1，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，M0，12，1，则AB―→＝(1，1，0)，PA―→＝(0，－1，－2)，AM―→＝0，32，1.设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，所以n·AB―→＝0，n·PA―→＝0，即x＋y＝0，－y－2z＝0，令x＝2，得y＝－2，z＝1，所以n＝(2，－2，1)是平面PAB的一个法向量，所以sinα＝|cos〈n，AM―→〉|＝n·AM―→|n|·|AM―→|＝23×132＝41339.故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为41339.(2)设平面PBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，易知C(0，1，0)，则BC―→＝(－1，1，0)，PB―→＝(1，0，－2)，所以n1·BC―→＝0，n1·PB―→＝0，得－x1＋y1＝0，x1－2z1＝0，令x1＝2，得y1＝2，z1＝1，所以n1＝(2，2，1)是平面PBC的一个法向量，所以cos〈n，n1〉＝n·n1|n|·|n1|＝13×3＝19.易知二面角A­PB­C为钝二面角，所以二面角A­PB­C的余弦值为－19.[方法技巧]直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝|n·e||n||e|，φ∈0，π2.[演练冲关]如图，在三棱锥P­ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成的角的正弦值；(2)求二面角B­AP­C的平面角的余弦值．解：(1)如图，设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，由∠APB＝90°，∠PAB＝60°得O为AD的中点，连接CD.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD.由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.设E为AC的中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB.如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O­xyz.不妨设PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝3，CD＝23.所以O(0，0，0)，A(－1，0，0)，C(1，23，0)，P(0，0，3)，所以CP―→＝(－1，－23，3)．而OP―→＝(0，0，3)为平面ABC的一个法向量，设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα＝CP―→·OP―→|CP―→||OP―→|＝0＋0＋316×3＝34.(2)由(1)有AP―→＝(1，0，3)，AC―→＝(2，23，0)．设平面APC的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n⊥AP―→，n⊥AC―→⇒n·AP―→＝0，n·AC―→＝0⇒（x1，y1，z1）·（1，0，3）＝0，（x1，y1，z1）·（2，23，0）＝0.从而x1＋3z1＝0，2x1＋23y1＝0.取x1＝－3，则y1＝1，z1＝1，所以n＝(－3，1，1)．设二面角B­AP­C的平面角为β，易知β为锐角．而平面ABP的一个法向量为m＝(0，1，0)，则cosβ＝n·m|n||m|＝13＋1＋1＝55.运用空间向量求二面角题型(三)考查用平面的法向量计算平面与平面所成的角.[典例感悟][例3](2019·南京四校联考)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F分别为棱AD和CC1的中点．(1)求异面直线BE和AF所成角的余弦值；(2)求平面B1D1F与平面BB1E所成角的余弦值．[解]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，以点D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示．因为AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F分别为棱AD和CC1的中点，所以B(2，2，4)，E(1，0，4)，A(2，0，4)，F(0，2，2)，B1(2，2，0)，D1(0，0，0)．(1)BE―→＝(－1，－2，0)，AF―→＝(－2，2，－2)，设异面直线BE和AF所成的角为θ，则cosθ＝BE―→·AF―→|BE―→|·|AF―→|＝－25×23＝1515.故异面直线BE和AF所成角的余弦值为1515.(2)设平面B1D1F和平面BB1E的法向量分别是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．D1F―→＝(0，2，2)，D1B1―→＝(2，2，0)，则n1·D1F―→＝2y1＋2z1＝0，n1·D1B1―→＝2x1＋2y1＝0，取x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，得n1＝(1，－1，1)为平面B1D1F的一个法向量．EB―→＝(1，2，0)，B1B―→＝(0，0，4)，则n2·EB―→＝x2＋2y2＝0，n2·B1B―→＝4z2＝0，z2＝0，取y2＝－1，则x2＝2，得n2＝(2，－1，0)为平面BB1E的一个法向量．设平面B1D1F与平面BB1E所成的角为α，则cosα＝n1·n2|n1|·|n2|＝33×5＝155.故平面B1D1F与平面BB1E所成角的余弦值为155.[方法技巧]二面角的求法建立恰当空间直角坐标系，求出两个平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|求出(结合图形取“±”号)二面角，也可根据线面垂直，直接求出法向量来求解．[演练冲关]1．(2019·苏州期末)如图，四棱锥P­ABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，PA与平面PBC所成角的正弦值为217.(1)求侧棱PA的长；(2)设E为AB中点，若PA≥AB，求二面角B­PC­E的余弦值．解：(1)取AD的中点O，BC的中点M，连接OP，OM，因为PA＝PD，所以OP⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，OP⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以OP⊥平面ABCD，又OA⊂平面ABCD，OM⊂平面ABCD，所以OP⊥OA，OP⊥OM.因为ABCD是正方形，所以OA⊥OM.以O为原点，OA，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O­xyz(如图)，则A12，0，0，B12，1，0，C－12，1，0.设P(0，0，c)(c＞0)，则PB―→＝12，1，－c，CB―→＝(1，0，0)．设平面PBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则PB―→·n1＝0，CB―→·n1＝0，所以12x1＋y1－cz1＝0，x1＝0，取z1＝1，则y1＝c，从而n1＝(0，c，1)是平面PBC的一个法向量．设PA与平面PBC所成的角为α，因为PA―→＝12，0，－c，所以sinα＝|cos〈PA―→，n1〉|＝|PA―→·n1||PA―→|·|n1|＝c14＋c2·c2＋1＝217，得c2＝34或c2＝13，所以PA＝1或PA＝216.(2)由(1)知，PA≥AB＝1，所以PA＝1，c＝32.由(1)知，平面PBC的一个法向