（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第一讲 小题考法——立体几何中的计算课件

立体几何题二专[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点空间几何体的表面积与体积(5年4考)本专题在高考大题中的考查非常稳定，主要是线线、线面、面面的平行与垂直的证明，一般第(1)问是线面平行的证明，第(2)问是线线垂直或面面垂直的证明，考查形式单一，难度一般.偶考点简单几何体与球的切接问题——立体几何中的计算小题考法一讲第空间几何体的表面积与体积考点(一)主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面积与体积.[题组练透]1．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是________．解析：设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，∴VE­BCD＝13×12ab×12c＝112abc＝112×120＝10.答案：102．(2018·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________．解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为（23）2－22＝22，所以该直四棱柱的侧面积为S＝cl＝4×2×22＝162.答案：1623.(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2×13×(2)2×1＝43.答案：434.(2018·南通、泰州一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为93cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．解析：由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6×34×42×4－93×4＝603(cm3)，设所求正三棱柱的底面边长为xcm，则有34x2·6＝603，解得x＝210，所以所求边长为210cm.答案：2105．(2019·苏北三市一模)已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为________．解析：易知正四棱锥的斜高为12＋（3）2＝2，所以该正四棱锥的侧面积为4×12×23×2＝83.答案：83[方法技巧]求几何体的表面积及体积的解题技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.考点(二)简单几何体与球的切接问题主要考查简单几何体与球切接时的表面积、体积的计算问题，以及将空间几何体的问题转化为平面几何图形的关系的能力.[题组练透]1．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以V1V2＝πR2·2R43πR3＝32.答案：322．(2019·南通等七市二模)设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2m，PB＝3m，PC＝4m，则球O的表面积为________m2.解析：根据题意，可知三棱锥P­ABC是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，∵PA＝2，PB＝3，PC＝4，∴长方体的对角线的长为PA2＋PB2＋PC2＝29，即外接球的直径2R＝29，可得R＝292，因此，外接球的表面积为S＝4πR2＝4π2922＝29π.答案：29π3．(2019·无锡期初测试)已知正四面体ABCD的所有棱长都等于6，则以A为顶点，△BCD的内切圆为底面的圆锥的体积V＝________．解析：设正△BCD内切圆的圆心为O，连接OB，OA，则圆O的半径r＝36BC＝22，OB＝33BC＝2.易知OA⊥平面BCD，所以OA⊥OB，所以圆锥的高h＝OA＝AB2－OB2＝6－2＝2，所以圆锥的体积V＝13πr2h＝13π×222×2＝π3.答案：π34．(2018·全国卷Ⅲ改编)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为________．解析：由等边△ABC的面积为93，可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为13×93×6＝183.答案：183[方法技巧]简单几何体与球切接问题的解题技巧方法解读适合题型截面法解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作球内切多面体或旋转体方法解读适合题型构造直角三角形法首先确定球心位置，借助外接的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径正棱锥、正棱柱的外接球补形法因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等考点(三)平面图形的翻折与空间图形的展开问题主要考查空间图形与平面图形之间的转化，面积、体积以及最值问题的求解.[典例感悟][典例](1)如图，正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别为边AC与BC的中点，现将△ABC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面DCB，则三棱锥E­DFC的体积为________．[解析]S△DFC＝14S△ABC＝14×34×22＝34，E到平面DFC的距离h等于12AD＝12，所以VE­DFC＝13×S△DFC×h＝324.[答案]324(2)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．[解析]将侧面展开后可得：本题AM＋MC1最小可以等价为在矩形ACC1A1中求AM＋MC1的最小值．如图，当A，M，C1三点共线时，AM＋MC1最小．又AB∶BC＝1∶2，AB＝1，BC＝2，CC1＝3，所以AM＝2，MC1＝22，又AC1＝9＋5＝14，所以cos∠AMC1＝AM2＋C1M2－AC212AM·C1M＝2＋8－142×2×22＝－12，所以sin∠AMC1＝32，故△AMC1的面积为S△AMC1＝12×2×22×32＝3.[答案]3[方法技巧]解决翻折问题需要把握的两个关键点(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”．①与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；②与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变．(2)解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．[演练冲关]1．有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为________cm.解析：由题意作出图形如图所示，则铁丝的长度至少为62＋（4π）2＝36＋16π2＝29＋4π2.答案：29＋4π22．(2018·南京、盐城、连云港二模)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图①中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥S­EFGH(如图②)，则正四棱锥S­EFGH的体积为________．解析：连结EG，HF，交点为O(图略)，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝12＋22＝5，SO＝SE2－OE2＝5－1＝2，故正四棱锥S­EFGH的体积为13×(2)2×2＝43.答案：433．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，所以AE＝22，EO＝12.所以OA＝32.在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝12BC＝32，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为32.所以该球的体积V＝43π323＝3π2.答案：3π2必备知能·自主补缺(一)主干知识要牢记1．空间几何体的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝chc为底面周长h为高正棱锥S正棱锥侧＝12ch′c为底面周长h′为斜高即侧面等腰三角形的高几何体侧面展开图侧面积公式正棱台S正棱台侧＝12(c＋c′)h′c′为上底面周长c为下底面周长h′为斜高，即侧面等腰梯形的高圆柱S圆柱侧＝2πrlr为底面半径l为侧面母线长几何体侧面展开图侧面积公式圆锥S圆锥侧＝πrlr为底面半径l为侧面母线长圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)lr1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长2.柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；(3)V台＝13(S＋SS′＋S′)h(不要求记忆)．3．球的表面积和体积公式(1)S球＝4πR2(R为球的半径)；(2)V球＝43πR3(R为球的半径)．4．立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题，都可以转化为平面几何中两点距离最短．(二)二级结论要用好1．长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.[针对练1]设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，23，4，则其外接球的表面积为________．解析：依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R＝1222＋（23）2＋42＝22，所以该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝32π.答案：32π2．棱长为a的正四面体的内切球半径r＝612a，外接球的半径R＝64a.又正四面体的高h＝63a，故r＝14h，R＝34h.[针对练2]正四面体ABCD的外接球半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为________．解析：由题意知，面积最小的截面是以AB为直径的圆，设AB的长为a，因为正四面体外接球的半径为2，所以64a＝2，解得a＝463，故截面面积的最小值为π2632＝8π3.答案：8π33．认识球与正方体组合的3种特殊截面：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)．