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数学[第二部分高考20题各个击破]专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数高考热点追踪(一)01创新题型02方法博览03专题强化精练提能函数中的新定义问题用数学符号或文字叙述给出一个新定义，利用这个新定义和已学过的知识解决题目给出的问题，叫新定义题．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．(2019·无锡市高三上学期期末考试)若函数f(x)在[m，n](m＜n)上的值域恰好是[m，n]，则称[m，n]为函数f(x)的一个“等值映射区间”．下列函数：①y＝x2－1；②y＝2＋log2x；③y＝2x－1；④y＝1x－1，其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有________个．【解析】根据新定义可知，存在唯一一个“等值映射区间”的函数与另一函数y＝x的图象有两个交点，且在[m，n](m＜n)上的值域恰好为[m，n]，可见两函数在[m，n]上均单调递增．对于①y＝x2－1，根据新定义可得，x2－1＝x，方程有两个解，即函数y＝x2－1与函数y＝x的图象有两个交点，但在同一增区间上只有一个交点，故①不满足题意；对于②y＝2＋log2x，根据新定义可得，2＋log2x＝x，方程有两个解，即函数y＝2＋log2x与函数y＝x的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故②满足题意；对于③y＝2x－1，根据新定义可得，2x－1＝x，方程有两个解，即函数y＝2x－1与函数y＝x的图象有两个交点，且在定义域内两函数都单调递增，故③满足题意；对于④y＝1x－1，根据新定义可得，x2－x＝1(x≠1)，方程有两个解，即函数y＝1x－1与函数y＝x的图象有两个交点，但y＝1x－1不单调递增，故④不满足题意．所以存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个．【答案】2[名师点评]创新题型在高考中常出现，考查学生对新定义的理解能力，只有明确新定义的实质，才能使问题得以解决．不等式恒成立问题的解题策略恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐晦，考生在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面谈谈解决此类问题的常用方法．一、反客为主——更换主元有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的习惯思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境．如果打破思维定式，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收到出人意料的效果．对任意的|m|≤2，函数f(x)＝mx2－2x＋1－m恒负，则x的取值范围为________．【解析】设g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则有g（－2）0，g（2）0即2x2＋2x－30，2x2－2x－10．解得7－12x3＋12．【答案】7－12，3＋12[名师点评]当一个题中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参数使问题获得解决．二、分离参数——巧妙转化有些问题，是需要将参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧视作为新函数，则可以将问题转化为新函数的最值问题．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(十))已知实数x，y满足x＋2y＋3＝xy，且对任意的实数x∈(2，＋∞)，y∈(1，＋∞)，不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】因为x∈(2，＋∞)，y∈(1，＋∞)，所以x＋y－30，所以不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0可转化为(x＋y－3)＋1x＋y－3≥a．令t＝x＋y－3，t0，则f(t)＝t＋1t≥a，且函数f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增．等式x＋2y＋3＝xy可化为(x－2)(y－1)＝5，令m＝x－2，n＝y－1，则m0，n0，且mn＝5，则t＝m＋n≥2mn＝25，当且仅当m＝n，即x＝y＋1，即x＝2＋5，y＝1＋5时等号成立，故f(t)≥f(25)＝25＋125＝21510，所以a≤21510．【答案】(－∞，21510][名师点评]若对于x取值范围内的任何一个数都需要f(x)≥g(a)恒成立，则g(a)≤f(x)的最小值；若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)≤g(a)恒成立，则g(a)≥f(x)的最大值．三、变量替换——避繁就简根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后，返回去再求出原变量的结果．此法应用往往简便快捷，可以避开烦琐的运算．(2019·宁波质检)当x∈(0，1)时，不等式41－x≥m－1x恒成立，则m的最大值为________．【解析】由已知不等式可得m≤1x＋41－x．设f(x)＝1x＋41－x＝1－x＋4xx（1－x）＝3x＋1－x2＋x，令t＝3x＋1，则x＝t－13，t∈(1，4)，f(x)可化为g(t)＝t－t－132＋t－13＝9t－t2＋5t－4＝9－t＋4t＋5，因为t∈(1，4)，所以5t＋4t≥4，0－t＋4t＋5≤1，9－t＋4t＋5≥9，即f(x)∈[9，＋∞)，故m的最大值为9．【答案】9[名师点评]本题使用换元法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新．四、数形结合——以“形”代算数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．当x∈0，12时，x2logax恒成立，则a的取值范围是__________．【解析】由图形可知，0a1，因为当x∈0，12时，x2logax恒成立，所以loga12≥122，所以a≥116，又因为0a1，所以116≤a1．【答案】116，1[名师点评]以“形”代算，虽然有一定的技巧性，但通过图形的直观显现，答案直接跃然纸上．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放