（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 高考热点追踪（六

数学[第二部分高考20题各个击破]专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明高考热点追踪(六)01知识交汇02方法博览03专题强化精练提能“交融”在本质高考对复数要求不高，但仍是常考内容．纵观各地模拟试题，复数知识时常与其他知识交融在一起，这些试题从形式上看很“新”，但是不是很难呢？我们如何去分析解决呢？请同学们看下面三个例题．(2019·南京模拟)已知O为坐标原点，向量OZ1→，OZ2→分别对应复数z1，z2，且z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i(a∈R)，若z1＋z2是实数．(1)求实数a的值；(2)求以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的面积．【解】(1)因为z1＋z2＝3a＋5－(10－a2)i＋21－a＋(2a－5)i＝3a＋5＋21－a＋(a2＋2a－15)i是实数，所以a2＋2a－15＝0．所以a＝3，a＝－5(舍去)．故a＝3．(2)由(1)知，z1＝38＋i，z2＝－1＋i，所以OZ1→＝38，1，OZ2→＝(－1，1)，所以|OZ1→|＝738，|OZ2→|＝2，cos〈OZ1→，OZ2→〉＝OZ1→·OZ2→|OZ1→||OZ2→|＝－38＋1738×2＝5146．所以sin〈OZ1→，OZ2→〉＝1－25146＝11146，所以S▱＝|OZ1→||OZ2→|sin〈OZ1→，OZ2→〉＝738×2×11146＝118．所以平行四边形的面积为118．[名师点评]在复平面内，如果复数变量按照某种条件变化，那么对应动点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形有机结合使复数问题和向量问题构成了天然联系．已知a，b，c，d∈R，对于复数z＝a＋bi，有z(4－i)是纯虚数，(z＋2)(1－4i)是实数，且函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝0处有极值－2．(1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在整数m，使得方程f(x)＝0在区间(m，m＋1)内有且仅有一个实数根．若存在，求出所有m的值，若不存在，请说明理由．【解】(1)因为z(4－i)＝(4a＋b)＋(－a＋4b)i是纯虚数，(z＋2)(1－4i)＝(a＋4b＋2)－(4a－b＋8)i是实数，且a，b∈R，所以4a＋b＝0，－a＋4b≠0，4a－b＋8＝0，解得a＝－1，b＝4，又因为f(x)在x＝0处有极值－2，所以f′(0)＝0，f(0)＝－2，得到c＝0，d＝－2，所以f(x)＝－x3＋4x2－2，则f′(x)＝－3x2＋8x＝－3xx－83，f′(x)0⇔0x83，f′(x)0⇔x0或x83．所以f(x)的单调递增区间是0，83，单调递减区间是(－∞，0)和83，＋∞．(2)由(1)知：当x＝0时，f(x)有极小值－20；当x＝83时，f(x)有极大值202270，而当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→－∞，则方程f(x)＝0在f(x)的三个单调区间(－∞，0)，0，83，83，＋∞上必各有且仅有一个根．因为f(1)＝10，f(0)0，所以方程f(x)＝0在(0，1)上有且仅有一个实数根，同理可得方程f(x)＝0在(3，4)，(－1，0)上有且仅有一个实数根．则m的值为0，3和－1．[名师点评]本题是复数问题与导数问题交汇在一起考查，实际我们只需要利用复数的有关概念求出a，b．后面的问题用导数知识不难解决．(2019·苏州期末)对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，定义g(z)＝3x(cosy＋isiny)．(1)若g(z)＝3，求相应的复数z；(2)若z＝a＋bi(a，b∈R)中的a为常数，则令g(z)＝f(b)，对任意b，是否一定有常数m(m≠0)使得f(b＋m)＝f(b)？这样的m是否唯一？说明理由．(3)计算g2＋π4i，g－1＋π4i，g1＋π2i，由此发现一个一般的等式，并证明．【解】(1)由3xcosy＝3，3xsiny＝0，得cosy＝1，3x＝3，则x＝1，y＝2kπ，k∈Z．故z＝1＋2kπi，k∈Z．(2)由f(b＋m)＝f(b)，得3acos（b＋m）＝3acosb，3asin（b＋m）＝3asinb，即cos（b＋m）＝cosb，sin（b＋m）＝sinb，所以m＝2kπ，k∈Z，所以m是不唯一的．(3)g2＋π4i＝922＋22i，g－1＋π4i＝1322＋22i，g1＋π2i＝3i，所以g2＋π4ig－1＋π4i＝g1＋π2i．一般地，对任意复数z1、z2，有g(z1)g(z2)＝g(z1＋z2)．证明如下：设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，2，y1，2∈R)，g(z1)＝3x1(cosy1＋isiny1)，g(z2)＝3x2(cosy2＋isiny2)，g(z1＋z2)＝3x1＋x2[cos(y1＋y2)＋isin(y1＋y2)]，所以g(z1)g(z2)＝g(z1＋z2)．[名师点评]对于第(1)，(2)问都是利用复数相等解决．复数相等是化“虚”为“实”的最重要方法，第(3)问是以复数为载体考查了简单的归纳推理，情景新，做法易．通过以上三例同学们可以看到其实新考题，再新也得在高中生“力所能及”的范围内出题，不然要背负“超纲”的嫌疑．因此命题人得想尽办法让考题从形式上看很“新”，而其考查的内容仍在教纲和考纲要求范围之内，仍是所学知识的本质运用．归纳推理大排队归纳推理思想就是在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳．一、等式中的归纳推理(2019·扬州期末)设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．【解析】观察知：四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出分母为fn(x)＝f(fn－1(x))的分母为(2n－1)x＋2n，故当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝x（2n－1）x＋2n．【答案】x（2n－1）x＋2n[名师点评]本题各式的分子相同，关键是如何归纳分母特征．二、图形中的归纳推理将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N*)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n＝2，3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，f(3)＝________，…，f(n)＝______________．【解析】当n＝3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a，x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y1＋z2，6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，即g＝13而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋13＝103．进一步可求得f(4)＝5．由上知f(1)中有3个数相加，f(2)中有6个数相加，f(3)中有10个数相加，f(4)中有15个数相加，…，若f(n－1)中有an－1(n1)个数相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝33，f(2)＝63＝3＋33＝f(1)＋33，f(3)＝103＝f(2)＋43，f(4)＝5＝f(3)＋53，…可得f(n)＝f(n－1)＋n＋13，所以f(n)＝f(n－1)＋n＋13＝f(n－2)＋n＋13＋n3＝…＝n＋13＋n3＋n－13＋…＋33＋f(1)＝n＋13＋n3＋n－13＋…＋33＋23＋13＝16(n＋1)(n＋2)．【答案】10316(n＋1)(n＋2)[名师点评]本题的归纳实际用了从特殊到一般的数学思想方法．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放