（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角变换、解三角形课件

数学[第二部分高考20题各个击破]专题二三角函数与平面向量第2讲三角变换、解三角形01要点整合夯基释疑02导学导练核心突破03专题强化精练提能[2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．三角变换与求值第13题第16题第5题江苏高考对于三角恒等变换的命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与三角函数、向量交汇的综合题或实际应用题是命题方向．2．解三角形第15题第18题第13题1．必记的概念与定理(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式①sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ．②cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ．③tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．(2)倍角公式①sin2α＝2sinαcosα；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝2tanα1－tan2α．2．记住几个常用的公式与结论(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α；sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝±1－cos2α；cosα＝±1－sin2α．(2)升(降)幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2；sinαcosα＝12sin2α．(3)辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(φ由a，b具体的值确定)．(4)正切公式的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)．(5)正弦定理的各种形式：形式一：asinA＝bsinB＝csinC＝2R；形式二：sinA＝a2R；sinB＝b2R；sinC＝c2R；(角到边的转换)形式三：a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC；(边到角的转换)形式四：S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．(求三角形的面积)(6)余弦定理的各种形式：形式一：a2＝b2＋c2－2bc·cosA，b2＝a2＋c2－2ac·cosB，c2＝a2＋b2－2ab·cosC；形式二：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab．(角到边的转换)3．需要关注的易错易混点(1)三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；α可视为α2的倍角；π4±α可视为(π2±2α)的半角等等．当然变换形式不唯一，应因题而异．(2)解题前要善于分析题目中所给式子的结构，掌握结构的特点，通过降幂、升幂、常数代换等手段，为使用公式创造条件，这是三角变换的重要策略．(3)解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助解题”．三角变换与求值[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是________．(2)(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55．①求cos2α的值；②求tan(α－β)的值．【解】(1)tanαtanα＋11－tanα＝tanα（1－tanα）tanα＋1＝－23，解得tanα＝2或tanα＝－13，当tanα＝2时，sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此时sin2α＋cos2α＝15，同理当tanα＝－13时，sin2α＝－35，cos2α＝45，此时sin2α＋cos2α＝15，所以sin(2α＋π4)＝22(sin2α＋cos2α)＝210．(2)①因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα．因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725．②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2．因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211．(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[对点训练]1．(2019·徐州模拟)已知sinα＋π6＋cosα＝435，则sinα＋π3的值为________．[解析]由条件得32sinα＋32cosα＝435，即12sinα＋32cosα＝45．所以sinα＋π3＝45．[答案]452．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是_____．[解析]由sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，两边同时除以cosBcosC得tanB＋tanC＝2tanBtanC，令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tanBtanC2tanB·tanC，则tanBtanC1，m2．又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－m1－12m·12m＝m2m－2＝m－2＋4m－2＋4≥2（m－2）·4m－2＋4＝8，当且仅当m－2＝4m－2，即m＝4时取得等号，故tanAtanBtanC的最小值为8．[答案]8解三角形[典型例题](2019·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若a＝3c，b＝2，cosB＝23，求c的值；(2)若sinAa＝cosB2b，求sinB＋π2的值．【解】(1)因为a＝3c，b＝2，cosB＝23，由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，得23＝（3c）2＋c2－（2）22×3c×c，即c2＝13．所以c＝33．(2)因为sinAa＝cosB2b，由正弦定理asinA＝bsinB，得cosB2b＝sinBb，所以cosB＝2sinB．从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝45．因为sinB0，所以cosB＝2sinB0，从而cosB＝255．因此sinB＋π2＝cosB＝255．解三角形问题的求解一般是从两个角度来看，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．[对点训练]3．(2019·高考江苏卷)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．[解](1)过A作AE⊥BD，垂足为E．由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8．因为PB⊥AB，所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝810＝45．所以PB＝BDcos∠PBD＝1245＝15．因此道路PB的长为15百米．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连结AD，由(1)知AD＝AE2＋ED2＝10，从而cos∠BAD＝AD2＋AB2－BD22AD·AB＝7250，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bsin∠P1BD＝P1Bcos∠EBA＝15×35＝9；当∠OBP90°时，在△PP1B中，PBP1B＝15．由上可知，d≥15．再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝QA2－AC2＝152－62＝321．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋321．因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋321(百米)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放