（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题十一 圆锥曲线的方程及几何性质课件 苏教版

核心模块四解析几何微专题十一圆锥曲线的方程及几何性质课时作业考情分析圆锥曲线的方程及几何性质作为C级考点，每年必考，但基本上都是以中档题形式出现，难度不大．年份填空题解答题2017T8双曲线的几何性质T17椭圆的标准方程2018T8双曲线的几何性质T18椭圆的标准方程2019T7双曲线的几何性质T17椭圆标准方程及其几何性质课时作业典型例题目标1圆锥曲线方程的求解例1(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为________．(2)点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________．(3)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，F1F2DF1＝22，△DF1F2的面积为22，求该椭圆的标准方程．(1)x24－y25＝1解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.椭圆中：a2＝12，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝9，c＝3，即双曲线的焦点为(±3,0)．据此可得双曲线中的方程组：ba＝52，c2＝a2＋b2，c＝3，解得a2＝4，b2＝5，则双曲线C的方程为x24－y25＝1.点评：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(2)y＝112x2或y＝－136x2解析：抛物线标准方程为x2＝1ay(a≠0)，当a＞0时，开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，则抛物线方程为y＝112x2；当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为－14a－3＝6，解得a＝－136，则抛物线方程为y＝－136x2.(3)x22＋y2＝1解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由F1F2DF1＝22得DF1＝F1F222＝22c.从而S△DF1F2＝12DF1·F1F2＝22c2＝22，故c＝1.从而DF1＝22.由DF1⊥F1F2得DF22＝DF21＋F1F22＝92，因此DF2＝322，所以2a＝DF1＋DF2＝22，故a＝2，b2＝a2－c2＝1.因此所求椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.点评：根据条件求椭圆方程所常用的主要方法是定义法和待定系数法．定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.如果不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．【思维变式题组训练】1.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6，则双曲线的标准方程为________．x2－y28＝1解析：由题设知ca＝3，即a2＋b2a2＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，并求得x＝±a2＋12.由题设知，2a2＋12＝6，解得a2＝1.所以a＝1，b＝22.标准方程为x2－y28＝1.2.已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是________．x2＝16y解析：因为双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以ca＝2，即a2＋b2a2＝4，所以b2a2＝3.因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为2，所以a·p2a2＋b2＝2，解得p＝8，所以抛物线C2的方程是x2＝16y.x225＋y216＝1解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有PC1＝r＋1，PC2＝9－r.所以PC1＋PC2＝10＞C1C2＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，所以点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.3.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与直线l：x＝m(m∈R)．四点(3,1)，(3，－1)，(－22，0)，(3，3)中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线l上．求椭圆C的方程．解析：由题意有3个点在椭圆C上．根据椭圆的对称性，则点(3,1)，(3，－1)一定在椭圆C上，即9a2＋1b2＝1①.若点(－22，0)在椭圆C上，则点(－22，0)必为C的左顶点，而322，则点(－22，0)一定不在椭圆C上，故点(3，3)在椭圆C上，所以3a2＋3b2＝1②.联立①②可解得a2＝12，b2＝4.所以椭圆C的方程为x212＋y24＝1.目标2离心率的值或取值范围例2(1)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．(3)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是________．(4)已知F1，F2是双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．(1)63解析：以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，整理为a2＝3b2，即a2＝3(a2－c2)⇒2a2＝3c2，即c2a2＝23，e＝ca＝63.点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，而建立关于离心率的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(2)5－12解析：解法一：因为∠BAO＋∠BFO＝90°，所以sin∠BFO＝cos∠BAO＝cos∠BAF.在△ABF中，由正弦定理得BFsin∠BAF＝ABsin∠AFB＝ABsin∠BFO＝ABcos∠BAF，即BFAB＝sin∠BAFcos∠BAF，所以aa2＋b2＝ba，所以a2＝ba2＋b2，即a4＝(a2－c2)(2a2－c2)，化简得e4－3e2＋1＝0，解得e2＝3－52e2＝3＋521，舍去，故e＝5－12(负根舍去)．解法二：易知∠BAF＝∠FBO，所以Rt△BFO∽Rt△ABO，则FOBO＝BOAO，即cb＝ba，所以ac＝b2＝a2－c2，所以c2＋ac－a2＝0.即e2＋e－1＝0，解得e＝5－12(负根舍去)．解法三：设椭圆右顶点为C，连接BC，则∠BCO＝∠BAF，所以∠BCO＋∠BFC＝90°，则BF2＋BC2＝CF2，即a2＋a2＋b2＝(a＋c)2，所以2a2－c2＝2ac＋c2，即c2＋ac－a2＝0，所以e2＋e－1＝0，解得e＝5－12(负根舍去)．点评：椭圆离心率的求解步骤是首先将几何条件代数化，然后建立关于a，b，c的奇次方程．就本题对于所给∠BAO＋∠BFO＝90°条件采取了三种转化，分别是正、余弦定理，相似三角形和图形的对称性，从而更方便地将几何条件转化为a，b，c的齐次方程．(3)0，32解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，AF＋BF＝2a＝4，所以a＝2.设M(0，b)，因为d＝|3×0－4×b|32＋－42≥45，所以1≤b＜2.又e＝ca＝1－b2a2＝1－b24，所以0＜e≤32.(4)(1,2)解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝abx平行的直线为y＝abx＋c，联立，得y＝abx＋c，y＝－abx，解得x＝－bc2a，y＝c2，即M－bc2a，c2.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故－bc2a2＋c22＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得ca＜2，又双曲线的离心率e＝ca＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．【思维变式题组训练】1.如图，已知过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ→＝2QA→，则椭圆的离心率为________．255解析：解法一：因为△AOP是等腰三角形，所以OA＝OP，故A(－a,0)，P(0，a)，又PQ→＝2QA→，所以Q＝－2a3，a3.由点Q在椭圆上得49＋a29b2＝1，解得b2a2＝15，故离心率e＝1－b2a2＝1－15＝255.解法二：因为△AOP是等腰三角形，所以OA＝OP，故设直线AP：y＝x＋a，与椭圆方程联立并消去y得(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，从而(－a)xQ＝a2c2a2＋b2，即xQ＝－ac2a2＋b2，又由A(－a,0)，P(0，a)，PQ→＝2QA→得xQ＝－2a3，故－ac2a2＋b2＝－2a3，即5c2＝4a2，故e＝255.2.设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的实轴顶点为A1，A2，虚轴顶点为B1，B2，若双曲线上存在点P，满足以OP为边长的正方形的面积等于四边形A1B1A2B2的面积，则双曲线的离心率的取值范围为________．52，＋∞解析：由题知A1A2＝2a，B1B2＝2b，则四边形A1B1A2B2面积等于12×2a×2b＝2ab.双曲线上点到原点距离最近的点是实轴顶点A1(a,0)，OP2≥a2，所以存在点P满足条件时，一定有2ab≥a2，因此b≥a2，所以b2≥a24，c2≥54a2，所以e2≥54，得e≥52，故双曲线的离心率的取值范围是52，＋∞.3.已知点F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若PF21PF2的最小值为9a，则双曲线的离心率为________．5解析：在双曲线中，P为右支上一点，则PF1＝PF2＋2a，则PF21PF2＝PF2＋2a2PF2＝PF2＋4a2PF2＋4a≥24a2＋4a＝8a(当且仅当PF2＝2a时取等号)，因为已知中PF21PF2min＝9a，故PF2≠2a，在双曲线右支上点P满足(PF2)min＝c－a，则c－a＞2a，即c＞3a，故e＞3.又由PF21PF2≥9a，即c－a＋2a2c－a≥9a可得e≤2或e≥5.综上可得，e≥5，则e＝5.22，53解析：设椭圆左焦点为F′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又FA→·FB→＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以AB＝FF′＝2c.设AF′＝n，AF＝m，则在Rt△F′AF中，4.设椭圆C：x2a2＋y2b2＝