（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题十 直线与圆的基本问题课件 苏教版

核心模块四解析几何微专题十直线与圆的基本问题课时作业考情分析在近三年的高考题中，直线与圆的基本问题考察都比较简单，直线与圆的方程求解以及位置关系的研究，属于容易题，常见于填空题和解答题第一小问．年份填空题解答题2017T13考察直线与圆的位置关系2018T12考察直线与圆的位置关系T18考察直线方程和圆的方程2019T10考察点到直线距离T18考察直线与圆的实际应用问题课时作业典型例题目标1直线、圆的方程例1(1)经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是________．(2)圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的方程为__________．(3)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．(1)2x－y－7＝0解析：解法一：两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，由3x＋4y－5＝0，3x－4y－13＝0可得交点坐标为(3，－1)，所以经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是y＋1＝2(x－3)，即2x－y－7＝0.解法二：设所求直线方程为(3x＋4y－5)＋λ(3x－4y－13)＝0，整理可得3(1＋λ)x＋4(1－λ)y－5－13λ＝0，又斜率为2，即3＋3λ4λ－4＝2，解得λ＝115，即直线方程为2x－y－7＝0点评：解法一是求出直线交点，再用点斜式求解；解法二是用经过两直线交点的线系知识，简化了方程中未知数，各有不同．(2)(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析：因为圆过点A(0，－4)，B(0，－2)，所以圆心C的纵坐标为－3，又圆心C在直线2x－y－7＝0上，所以圆心C为(2，－3)，从而圆的半径为r＝AC＝4＋1＝5，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.点评：求圆的方程用待定系数法．具体有两条途径：一是用一般式，二是用标准式．本题适合于求出圆心和半径得出圆的方程．圆有一个性质在本题中要运用，即圆中每一个弦都存在一条直径是它的垂直平分线．(3)(x－1)2＋y2＝2解析：由题意得：半径等于|m＋1|m2＋1＝m＋12m2＋1＝1＋2mm2＋1≤2，所以所求圆为(x－1)2＋y2＝2.点评：本题已经知道圆心的坐标，只要确定半径，则可求出圆的方程．【思维变式题组训练】1.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是___________________________．x－y＋3＝0解析：由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0,3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0.2.若抛物线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为________．(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析：抛物线y＝x2－2x－3关于直线x＝1对称，与坐标轴的交点为A(－1,0)，B(3,0)，C(0，－3)，设圆心为M(1，b)，半径为r，则MA2＝MC2＝r2，即4＋b2＝1＋(b＋3)2＝r2，解得b＝－1，r＝5，所以由交点确定的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.3.若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．x＋3y－5＝0或x＝－1解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－13.所以直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37解析：如图所示，因为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，所以过A，C的直线方程为y＋13＋1＝x－6－2－6，化为一般式为x＋2y－4＝0.点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝|－4|5＝455＞1.4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为________．又OA＝－22＋32＝13，OB＝－22＋－12＝5，OC＝62＋－12＝37.所以以原点为圆心的圆若与△ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径分别为1或37，则圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.目标2直线与圆的位置关系例2(1)已知点A(a,1)和曲线C：x2＋y2－x－y＝0，若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个公共点，则实数a的取值范围是______________．(2)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．(3)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．(1)[0,1]解析：圆的一般方程化为标准方程为x－122＋y－122＝12，所以圆心坐标为12，12，半径r＝22.当y＝1时，方程x2＋y2－x－y＝0可化为x2－x＝0，解得x＝0或x＝1.要使过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则点A应该在圆上或圆内，则a应满足0≤a≤1.即实数a的取值范围为[0,1]．(2)[1,5]解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，MA＝MBsin∠BAM＝2sin30°＝4.设A(x,6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1,5]．(3)－43解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－43.【思维变式题组训练】1.过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．(2，2)解析：因为点P在直线x＋y－22＝0上，所以可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝x20＋－x0＋222＝2，解得x0＝2.故点P的坐标是(2，2)．2.已知直线l：y＝－x＋4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相交于P，Q两点，则CP→·CQ→＝________.0解析：解法1(坐标法)：圆心C(2,1)，由y＝－x＋4，x－22＋y－12＝1，解得x＝2，y＝2或x＝3，y＝1，即P(2,2)，Q(3,1)，CP→·CQ→＝(0,1)·(1,0)＝0.解法2(定义法)：设弦PQ的中点为M，则圆心C(2,1)到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝CM＝|2＋1－4|2＝22，因此MQ＝R2－d2＝1－12＝22.因为CM＝MQ，所以∠MCQ＝π4，从而∠PCQ＝π2，即有CP→⊥CQ→，所以CP→·CQ→＝0.3.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．－1解析：由题意知△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC＝4，AB＝42，所以圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝42－222＝22，所以|a＋a－2|a2＋1＝22，解得a＝－1.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．2143，22解析：设∠PCA＝θ，所以PQ＝22sinθ.又cosθ＝2AC，AC∈[3，＋∞)，所以cosθ∈0，23，所以cos2θ∈0，29，sin2θ＝1－cos2θ∈79，1，所以sinθ∈73，1，所以PQ∈2143，22.目标3圆与圆的位置关系例3(1)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是______________．(3)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为________．(1)94解析：两圆外切时圆心距等于半径之和，得|a＋b|＝3，所以ab≤a＋b22＝|a＋b|24＝94.点评：根据圆与圆外切得到一个等式，再结合基本不等式求解．(2)(2－23，2)∪(2,2＋23)解析：由题意以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4(m－2)2＋416，所以－23＋2m23＋2且m≠2.点评：本题需要具备两个技巧：一到定点的距离为定值的点构造为圆；二根据公切线条数判断圆与圆的位置关系．【思维变式题组训练】3中还提供了一个到定点距离为定值的直线的特征的问题．(3)－65，0解析：由题意圆M上任意一点Q向圆O作切线，切点为P，∠PQM＝30，所以OQ＝4，即x2＋y2＝4与圆M有交点，所以1≤a＋32＋4a2≤3，解得－65≤a≤0.【思维变式题组训练】1.设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2＝________.8解析：因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝a－42＋a－12，解得a＝5＋22或a＝5－22，可取C1(5＋22，5＋22)，C2(5－22，5－22)，故C1C2＝422＋422＝8.2.已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为________．1解析：由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤OC≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.3.若对于给定的正实数k，函数f(x)＝kx的图象上总存在点C，使得以C为圆心、1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是________．0，92解析：设Ct，kt(t≠0)，故圆C：(x－t)2＋y－kt2＝1，原题等价于∃t∈R，t≠0，圆C：(x－t)2＋y－kt2＝1与圆x2＋y2＝4相交．又CO2＝t2＋k2t2，R1＝2，R2＝1，所以原题等价于∃t20,1t2＋k2t29，即k2t2－t4，k29t2－t4.又t2－t4∈－∞，14，9t2－t4∈－∞，814，k20，所以对于任意k，k2t2－t4都有解，所以只需k2814.又k0，所以k∈0，92.课时作业课后作业一、填空题1.若直线(a2＋2a)x－y＋1＝0的倾斜