（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题三 解三角形课件 苏教版

三角函数、解三角形、平面向量微专题三解三角形课时作业考情分析正、余弦定理及其应用在近三年高考题中均有考察，难度以中档题为主，如2019年T12解三角形与向量结合考察，T15解三角形与三角化简求值结合考察.2018年T13考察三角形的角平分线性质和基本不等式的运用.2017年T18在应用题中考察了正、余弦定理的运用.2016年T15将解三角形与三角化简求值相结合.2016年T13，T14都以三角形为载体考察了向量的数量积和基本不等式的运用．三角形的研究是近几年高考的热点．课时作业典型例题目标1正、余弦定理的运用例1(1)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若5a＝8b，A＝2B，则sinA－π4＝________.17250解析：(1)因为5a＝8b，所以由正弦定理可得5sinA＝8sinB，即sinA＝85sinB.因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，则85sinB＝2sinBcosB.因为sinB0，所以cosB＝45，则sinB＝1－cos2B＝35，故sinA＝2425.因为A＝2B，所以cosA＝cos2B＝2cos2B－1＝725，所以sinA－π4＝sinAcosπ4－cosAsinπ4＝17250.(2)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，边BC上的中线AD＝2，则△ABC的面积为_______．3154(2)解法1由题意设CD＝BD＝x，由余弦定理得cosC＝9＋x2－42×3x＝9＋4x2－42×3×2x，可得x＝102且cosC＝104，sinC＝64，故S△ABC＝12AC·BC·sinC＝3154.解法2由题意设CD＝BD＝x，由余弦定理得cos∠ADB＝－cos∠ADC，即x2＋4－42×2×x＝－x2＋4－92×2×x，解得x＝102，以下同解法1.(3)在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．9(3)由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°＝12a×1×sin60°＋12c×1×sin60°，化简得ac＝a＋c，1a＋1c＝1，因此4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥5＋2ca·4ac＝9，当且仅当a＝32，c＝3时取等号．点评：高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．【思维变式题组训练】1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b2，且ab，则B＝________.π6解析：由正弦定理可得到sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝12sinB.因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝12，即sin(A＋C)＝sinB＝12，又ab，则B＝π6.2.在△ABC中，已知AC＝5，AB＝12，AD为∠BAC的平分线，D在BC上，CD＝6517，则AD＝________.60217解析：在△ABD，△ADC中，由正弦定理可得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD.又∠BAD＝∠CAD，∠ADB＋∠ADC＝π，所以有ABAC＝BDCD＝125，即BD＝15617，故BC＝6517＋15617＝13.即AC2＋AB2＝144＋25＝169＝BC2，所以△ABC为直角三角形且A＝π2.在△ADC中，由正弦定理可得CDsin∠DAC＝ADsinC，即AD＝1213×651722＝60217.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线．(1)若a＝4，b＝2，AD＝1，求边c的长；(2)若AB→·AD→＝c2，求角B的大小．解析：(1)在△ADC中，因为AD＝1，AC＝2，DC＝12BC＝2，所以由余弦定理，得cosC＝AC2＋DC2－AD22AC·DC＝22＋22－122×2×2＝78.故在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋22－2×4×2×78＝6，所以c＝6.(2)因为AD为边BC上的中线，所以AD→＝12(AB→＋AC→)，所以c2＝AB→·AD→＝AB→·12(AB→＋AC→)＝12AB→2＋12AB→·AC→＝12c2＋12cbcosA，得c＝bcosA.则c＝b·b2＋c2－a22bc，得b2＝c2＋a2，所以B＝90°.目标2三角形中的求值、求角问题例2若0απ2βπ，且sin(α＋β)＝513，tanα2＝12.(1)求cosα的值；(2)证明：sinβ513.解析：(1)tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，3sinα＝4cosα，9(1－cos2α)＝16cos2α，cos2α＝925.又因为0απ2，可得cosα＝35.(2)由(1)可知，sinα＝1－cosα＝45，0απ2βπ，可得π2α＋β3π2，又因为sin(α＋β)＝513，可得cos(α＋β)＝－1213，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝513×35－45×－1213＝6365513.点评：三角形中的求值、求角问题主要是利用正、余弦定理化归条件，转化为三角的求值、求角问题．要注意三角形中角的范围限制以及sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)在求解中的使用．【思维变式题组训练】1.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosB－bcosA＝35c，则tanAtanB＝________.4解法1(正弦定理)根据正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝35sinC，即5sinAcosB－5sinBcosA＝3sinC.又因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以2sinAcosB＝8cosAsinB.又因为A，B∈(0，π)，所以cosA≠0，cosB≠0，所以tanA＝4tanB，则tanAtanB＝4.解法2(射影定理)因为acosB－bcosA＝35c及acosB＋bcosA＝c可得acosB＝45c，bcosA＝15c，注意到cosA≠0，cosB≠0，两式相除可得acosBbcosA＝4，再由正弦定理可得sinAcosBsinBcosA＝tanAtanB＝4.2.在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB＝2bcosA，cosA＝33.(1)求角B的值；(2)若a＝6，求△ABC的面积．解析：(1)在△ABC中，因为cosA＝33，0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝63.因为acosB＝2bcosA，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinAcosB＝2sinBcosA.所以cosB＝sinB.若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cosB≠0.于是tanB＝sinBcosB＝1.又因为0Bπ，所以B＝π4.(2)因为a＝6，sinA＝63，由(1)及正弦定理asinA＝bsinB，得663＝b22，所以b＝322.又sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝63·22＋33·22＝23＋66，所以△ABC的面积为S＝12absinC＝12×6×322×23＋66＝6＋324.目标3平面向量与三角形结合的问题例3(1)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.向量m＝(1，cosB)，n＝(sinB，－3)，且m⊥n，则角B的大小为________．π3解析：m·n＝sinB－3cosB.因为m⊥n，所以m·n＝0，所以sinB－3cosB＝0.因为△ABC为锐角三角形，所以cosB≠0，所以tanB＝3.因为0Bπ2，所以B＝π3.(2)如图，已知AC与BD交于点E，AB∥CD，AC＝310，AB＝2CD＝6，则当tanA＝3时，BE→·CD→＝________.12解析：因为AB∥CD，所以ABCD＝AEEC＝2，又因为AC＝310，所以AE＝210，EC＝10.在△ABE中，sinAcosA＝3，sin2A＋cos2A＝1，所以cosA＝1010，所以BE＝AB2＋AE2－2AB·AEcosA＝36＋40－2×6×210×1010＝213，所以cos∠ABE＝AB2＋BE2－AE22AB·BE＝36＋52－402×6×213＝213，则BE→·CD→＝BE→·12BA→＝12×6×213×213＝12.例4在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝52b.(1)若C＝2B，求cosB的值；(2)若AB→·AC→＝CA→·CB→，求cosB＋π4的值．解析：(1)因为c＝52b，则由正弦定理，得sinC＝52sinB.又C＝2B，所以sin2B＝52sinB，即4sinBcosB＝5sinB.又B是△ABC的内角，所以sinB0，故cosB＝54.(2)因为AB→·AC→＝CA→·CB→，所以cbcosA＝bacosC，则由余弦定理，得b2＋c2－a2＝b2＋a2－c2，得a＝c.从而cosB＝a2＋c2－b22ac＝c2＋c2－25c22c2＝35.又0Bπ，所以sinB＝1－cos2B＝45.从而cosB＋π4＝cosBcosπ4－sinBsinπ4＝35×22－45×22＝－210.点评：在解图形类应用题时，要抓住题中的边角关系，建立模型(以角或边为变量)从而解决问题．(具体见后面的应用题专题)【思维变式题组训练】1.如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解析：方法一：设∠AMN＝θ.在△AMN中，MNsin60°＝AMsin120°－θ.因为MN＝2，所以AM＝433sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．由余弦定理得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0,120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23.答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．方法二：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α.在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.因为MNsin60°＝ANsinα，即2sin60°＝ysinα，所以sinα＝34y，cosα＝x2＋4－y22×2×x＝x2＋x2－xy4x＝2x－y4.cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝12cosα－32sinα＝12·2x－y4－32·3