（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题七 基本不等式课件 苏教版

核心模块二不等式微专题七基本不等式课时作业考情分析基本不等式作为C级考点，每年必考，但基本上都是作为工具在其他知识点里面出现．年份填空题2017T10应用题中的最值2018T13三角形中边长和的最值2019T7，T19基本不等式的应用课时作业典型例题目标1基本不等式应用于一元函数的最值例1(1)已知x＜12，则函数y＝4x2－2x＋12x－1的最大值是________．－1解析：y＝4x2－2x＋12x－1＝2x2x－1＋12x－1＝2x＋12x－1＝－1－2x＋11－2x＋1，由x＜12可得1－2x＞0，根据基本不等式可得(1－2x)＋11－2x≥2，当且仅当1－2x＝11－2x，即x＝0时取等号，则ymax＝－1.点评：对于形如y＝cx2＋dx＋fax＋ba≠0的分式函数，都可以考虑用基本不等式求最值．如本题中分子的配凑比较困难，可以考虑设分母为t，从而可以将所给函数转化为y＝ax＋bx＋c来研究；同样对于形如y＝ax＋bcx2＋dx＋f(c≠0)的分式函数，我们也可以考虑设分子ax＋b＝t，将函数转化，然后利用基本不等式或导数处理．(2)已知在△ABC中，，AB→·AC→＝3CA→·CB→，则1tanA＋1tanB＋1tanC的最小值为_________．132解析：由AB→·AC→＝3CA→·CB→，tanC＝3tanA，结合tanB＝－tan(A＋C)得1tanA＋1tanB＋1tanC＝3tanA4＋1312tanA，用基本不等式求得最小值为132.【思维变式题组训练】1.已知函数f(x)＝12x100－x2，则f(x)的最大值为________．25解析：f(x)＝12x100－x2＝12x2100－x2≤12x2＋100－x222＝12×50＝25，当且仅当x2＝100－x2，即x＝52时取等号．2.已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．－83，＋∞解析：令f(x)＝x2＋ax＋11x＋1≥3(x∈N*)，则(3－a)x≤x2＋8，即3－a≤x＋8x.因为x＋8x≥28＝42，当且仅当x＝22时取等号．又因为x∈N*，当x＝1时，x＋8x＝9；当x＝2时，x＋8x＝6；当x＝3时，x＋8x＝3＋836，因此x＋8x的最小值为3＋83，于是3－a≤3＋83，即a≥－83.3.已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sinαsinβ，则tanα的最大值是________．24解析：由cos(α＋β)＝sinαsinβ得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαsinβ，即cosαcosβ＝sinαsinβ＋1sinβ.由α，β均为锐角得cosα≠0，tanβ0，所以tanα＝sinαcosα＝cosβsinβ＋1sinβ＝sinβcosβsin2β＋1＝tanβ2tan2β＋1＝12tanβ＋1tanβ≤122＝24，当且仅当2tanβ＝1tanβ，即tanβ＝22时，等号成立．目标2给定条件下二元变量的最值问题例2(1)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________．72＋23解析：(1)由log4(3a＋4b)＝log2ab，得3a＋4b＝2ab，则4a＋3b＝2，所以a＋b＝12(a＋b)4a＋3b＝127＋4ba＋3ab≥72＋4ba·3ab＝72＋23，当且仅当4ba＝3ab，即a＝4＋23，b＝23＋3时等号成立，故其最小值是72＋23.(2)已知x0，y0，则2xyx2＋8y2＋xyx2＋2y2的最大值是________．23(2)2xyx2＋8y2＋xyx2＋2y2＝3x3y＋4xy3x4＋10x2y2＋16y4＝3×xy＋4yxx2y2＋16y2x2＋10＝3×xy＋4yxxy＋4yx2＋2.令t＝xy＋4yxxy0，则t≥4，原式＝3×tt2＋2＝3t＋2t≤34＋24＝23.也可直接换元后求导．(3)已知a，b均为正数，且ab－a－2b＝0，则a24－2a＋b2－1b的最小值为________．7(3)由ab－a－2b＝0得2a＋1b＝1.又a，b均为正数，得22a×1b≤2a＋1b＝1，ab≥22，当且仅当a＝2b即a＝4，b＝2时取“＝”．又因为a24－2a＋b2－1b＝a24＋b2－2a＋1b＝a24＋b2－1≥2a24×b2－1＝ab－1＝8－1＝7，当且仅当a＝2b即a＝4，b＝2时取“＝”．【思维变式题组训练】1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cosA＋2cosC的最大值为________．154－322解析：由a，b，c成等差数列知，b＝a＋c2，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝5c－3a4c，cosC＝b2＋a2－c22ab＝5a－3c4a，所以cosA＋2cosC＝5c－3a4c＋5a－3c2a＝154－3a4c＋3c2a≤154－298＝154－322，当且仅当a2＝2c2即a＝2c时取等号．2.若实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，则3x＋1y－3的最小值为________．8解析：解法1：因为实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，所以y＝3x－3(y＞3)，所以3x＋1y－3＝y＋3＋1y－3＝y－3＋1y－3＋6≥2y－31y－3＋6＝8，当且仅当y－3＝1y－3，即y＝4时取等号，此时x＝37，所以3x＋1y－3的最小值为8.解法2：因为实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜12，所以y＝3x－3(y＞3)，y－3＝3x－6＞0，所以3x＋1y－3＝3x＋13x－6＝3x－6＋13x－6＋6≥23x－613x－6＋6＝8，当且仅当3x－6＝13x－6，即x＝37时取等号，此时y＝4，所以3x＋1y－3的最小值为8.3.若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为________．24解析：由2x2＋xy－y2＝1，得(x＋y)(2x－y)＝1.所以5x2－2xy＋2y2＝(x＋y)2＋(2x－y)2＝[(2x－y)－(x＋y)]2＋2＝(x－2y)2＋2，所以x－2y5x2－2xy＋2y2＝x－2yx－2y2＋2.①当x－2y＝0时，x－2yx－2y2＋2＝0；②当x－2y0时，x－2yx－2y2＋2＝1x－2y＋2x－2y≤24，即0x－2y5x2－2xy＋2y2≤24；③当x－2y0时，x－2yx－2y2＋2＝1x－2y＋2x－2y＝－1－x－2y＋2x－2y≥－24，即－24≤x－2yx－2y2＋20.综上可知，－24≤x－2y5x2－2xy＋2y2≤24，即x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为24.4.已知函数f(x)＝x－sinx，若正数a，b满足f(2a－1)＋f(b－1)＝0，则2a2a＋1＋b2＋1b的最小值为________．94解析：由题意得f(－x)＝－f(x)，且f(x)为单调增函数，最多有一个零点，所以f(2a－1)＋f(b－1)＝0，即f(2a－1)＝－f(b－1)＝f(1－b)，所以2a－1＝1－b，即2a＋b＝2，所以2a2a＋1＋b2＋1b＝2(a＋1)＋b＋2a＋1＋1b－4＝2a＋1＋1b.又2a＋1＋1b＝2a＋1＋1b[2(a＋1)＋b]×14＝144＋1＋2ba＋1＋2a＋1b≥94，当且仅当a＝13，b＝43时取等号，所以2a2a＋1＋b2＋1b的最小值为94.目标3用基本不等式解应用题例3如图，长方形ABCD表示一张6×12(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板．木板上一瑕疵(记为点P)到外边框AB，AD的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分别为m分米，n分米．(1)为使剩下木板MBCDN的面积最大，试确定m，n的值；(2)求剩下木板MBCDN的外边框长度(MB，BC，CD，DN的长度之和)的最大值．解析：(1)过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，则△PNF与△MPE相似，从而PFEM＝NFPE，所以2m－2＝n－11，即2m＋1n＝1.欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN的面积S＝12mn最小．由1＝2m＋1n≥22m·1n，得mn≥8当且仅当2m＝1n，即m＝4，n＝2时，“＝”成立，此时Smin＝4(平方分米)．(2)欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m＋n最小．由(1)知，m＋n＝(m＋n)2m＋1n＝2nm＋mn＋3≥22nm·mn＋3＝22＋3当且仅当2nm＝mn即m＝2＋2，n＝2＋1时，“＝”成立.答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为(33－22)分米．点评：在解模过程中，选择用基本不等式求解非常简单，但要注意满足的条件．【思维变式题组训练】如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处，可使得小道AB最短？解析：解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.设A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，则直线AB方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为AB与圆C相切，所以|b＋a－ab|b2＋a2＝1.化简得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2.因此AB＝a2＋b2＝a＋b2－2ab＝a＋b2－4a＋b＋4＝a＋b－22.因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，于是AB＝2－(a＋b)．又ab＝2(a＋b)－2≤a＋b22，解得0＜a＋b≤4－22或a＋b≥4＋22.因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－22，所以AB＝2－(a＋b)≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a＝b＝2－2时取等号，所以AB最小值为22－2，此时a＝b＝2－2.答：当A，B两点离道路的交点都为(2－2)(百米)时，小道AB最短．解法二：如图，连接CE，CA，CD，CB，CF.设∠DCE＝θ，θ∈0，π2，则∠DCF＝π2－θ.在Rt△CDA中，AD＝tanθ2.在Rt△CDB中，BD＝tanπ4－θ2，所以AB＝AD＋BD＝tanθ2＋tanπ4－θ2＝tanθ2＋1－tanθ21＋tanθ2.令t＝tanθ2，0＜t＜1，则AB＝f(t)＝t＋1－t1＋t＝t＋1＋21＋t－2≥22－2，当且仅当t＝2－1时取等号，所以AB最小值为22－2，此时A，B两点离两条道路交点的距离是1－(2－1)＝2－2.答：当A，B两点离道路的交点都为(2－2)(百米)时，小道AB最短．课时作业课后作业一、填空题1.函数y＝4x2＋9x2取最小值时x的值为_______________．±62解析：y＝4x2＋9x2≥24x2·9x2≥12，当且仅当4x2＝9x2⇒x＝±62时等号成立．2.函数y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值为________．5解析：设t＝sinx，则t∈(0,1]，y＝t＋4t在(0,2]上为单调减函数，故当t＝1时，y取最小值5.25解析：由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即2a＋3b＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)2a