（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 习题课（三） 计数原理课件 苏教版选修

习题课(三)(提升关键能力)计数原理高频考点一两个计数原理[典例1](2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)[解析]法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．[答案]16[典例2](2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)[解析]不含有0的四位数有C25C23A44＝720(个)．含有0的四位数有C25C13C13A33＝540(个)．综上，组成没有重复数字的四位数的个数为720＋540＝1260.[答案]1260[类题通法]使用两个原理时应注意的问题(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．[集训冲关]1．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为()A．5B．24C．32D．64解析：选D5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)，第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)．第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8，根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有8×8＝64.2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3B．4C．6D．8解析：选D以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．高频考点二排列与组合应用问题[典例](1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!(2)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9B．14C．12D．15[解析](1)把一家三口看作一个排列，共有3个三口之家，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C44种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有C12C34种选法．故共有C44＋C12C34＝9种选法．法二：(间接法)C46－C24＝9种．[答案](1)C(2)A[类题通法]排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．[集训冲关]1．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168解析：选B依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120.2．记者要为5名志愿者和志愿者帮助的2位老人拍照，要排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共________种．解析：先将5名志愿者排好，有A55种排法，再将2位老人“捆绑”起来插入中间的间隔，有A14·A22种插法，由分步乘法计数原理知，共有A55×A14A22＝960种排法．答案：960高频考点三二项式定理及应用二项式系数的性质[典例](1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1(2)(2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a1＋a2＋a3＋…＋a10等于()A．1－310B．－310－1C．310－1D．0(3)(2017·山东高考)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.[解析](1)展开式中含x2的系数为C25＋aC15＝5，解得a＝－1.(2)令x＝1，得a0＝1，令x＝2，得a0＋a1＋…＋a10＝1，所以a1＋a2＋…＋a10＝0.(3)(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Crn(3x)r.令r＝2，得T3＝9C2nx2.由题意得9C2n＝54，解得n＝4.[答案](1)D(2)D(3)4[类题通法]求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．[集训冲关]1．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析：选Cx2＋2x5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr＝Cr5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C25·22＝40.2．(2018·浙江高考)二项式3x＋12x8的展开式的常数项是________．解析：由题意，得Tr＋1＝Cr8·(3x)8－r·12xr＝Cr8·12r·x8－4r3.令8－4r3＝0，得r＝2.因此T3＝C28·122＝7.答案：7