（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.5.1 二项式定理课件 苏教版选修

1．5.1二项式定理[探究发现]问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnnbn.[必备知识]1．二项式定理公式(a＋b)n＝___________________________________(n∈N*)，叫做二项式定理，_____________叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有_____________项．2．二项展开式的通项_______叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝________.C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn右边的多项式n＋1Crnan－rbrCrnan－rbr3．二项式系数____________________叫做第r＋1项的二项式系数．[提醒](1)(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．(2)二项展开式中各项之间用“＋”连接．(3)二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，Crn，…，Cnn.(4)(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.Crn(r＝0,1,2，…，n)考点一二项式的展开[典例](1)求3x＋1x4的展开式；(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[解](1)法一：3x＋1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·1x2＋C34·3x·1x3＋C44·1x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：3x＋1x4＝3x＋14x2＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.(2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.[类题通法]运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[针对训练]1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x4－1解析：选A(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)4＋C14(x＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)(－1)3＋C44(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.2．求x－12x4的展开式．解：法一：x－12x4＝C04(x)4－C14(x)3·12x＋C24(x)2·12x2－C34x·12x3＋C4412x4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.法二：x－12x4＝2x－12x4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.考点二求二项展开式的特定项[典例]已知二项式x2＋12x10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项．[解](1)x2＋12x10的展开式的第5项为T5＝C410·(x2)6·12x4＝C410·124·x12·1x4＝1058x10.(2)设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝Cr10·(x2)10－r·12xr＝Cr10·x20－52r·12r(r＝0,1,2，…，10)，令20－52r＝0，得r＝8，所以T9＝C810·128＝45256，即第9项为常数项，其值为45256.[类题通法](1)二项展开式的通项Tr＋1＝Crnan－rbr表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项Tr＋1依赖于r，公式中的二项式的第一个量a与第二个量b的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n.(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定Tr＋1中r的值或取值范围以满足题设的条件．[针对训练]1.x2－12x6的展开式中，常数项是()A．－54B.54C．－1516D.1516解析：选Dx2－12x6展开式的通项Tr＋1＝Cr6(x2)6－r－12xr＝－12rCr6x12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项为－124C46＝1516.2．求x－124x8的展开式中的有理项．解：x－124x8的展开式的通项为Tr＋1＝Cr8(x)8－r－124xr＝－12rCr8x16－3r4(r＝0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项，分别是T1＝－120C08x4＝x4，T5＝－124C48x＝358x，T9＝－128C88x－2＝1256x2.考点三二项式系数与项的系数[典例]已知二项式3x－23x10.(1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数．[解]3x－23x10的二项展开式的通项是Tr＋1＝Cr10(3x)10－r·－23xr(r＝0,1，…，10)．(1)第4项的二项式系数为C310＝120.(2)第4项的系数为C31037－233＝－77760.[类题通法]要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数Crn；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．[针对训练]1.2x＋x(1－x)4的展开式中x的系数是()A．1B．2C．3D．12解析：选C根据题意，所给式子的展开式中含x的项有(1－x)4展开式中的常数项乘2x＋x中的x以及(1－x)4展开式中的含x2的项乘2x＋x中的2x两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3.2．若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.13B.12C．1D．2解析：选D依题意，注意到x＋1x10的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝Cr10·x10－2r，x＋1x10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C310、C210，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2.3．在二项式(1－x2)20的展开式中，第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，则r＝________.解析：第4r项与第r＋2项的二项式系数分别为C4r－120和Cr＋120，由题设得C4r－120＝Cr＋120.由组合数性质得4r－1＝r＋1或4r－1＝20－(r＋1)．4r－1＝r＋1没有整数解．由4r－1＝20－(r＋1)，得r＝4，所以r＝4.答案：4[课堂归纳领悟]1．求二项展开式特定项的一般步骤2．求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含xr(或xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数Crn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．