(江苏专用)2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题课件 苏教版选修2-

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考点一排列问题[典例]3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法?[解](1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起,所以可先把她们看成一个整体,这样同5个男生合在一起共有6个元素,排成一排有A66种不同排法.对于其中的每一种排法,3个女生之间又有A33种不同的排法,因此共有A66·A33=4320种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把5个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空,这样共有4个空,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有6个位置,再把3个女生插入这6个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有A55种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法,因此共有A55·A36=14400种不同的排法.(3)法一:(特殊位置优先法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有A25种不同排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有A66种排法,所以共有A25·A66=14400种不同的排法.法二:(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A88种不同的排法,从中扣除女生排在首位的A13·A77种排法和女生排在末位的A13·A77种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次,在扣除女生排在末位时又被扣去一次,所以还需加一次,由于两端都是女生有A23·A66种不同的排法,所以共有A88-2A13·A77+A23·A66=14400种不同的排法.法三:(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入,有A36种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余5个位置又都有A55种不同的排法,所以共有A36·A55=14400种不同的排法.(4)法一:因为只要求两端不能都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条件限制了,这样可有A15·A77种不同的排法;如果首位排女生,有A13种排法,这时末位就只能排男生,这样可有A13·A15·A66种不同的排法.因此共有A15·A77+A13·A15·A66=36000种不同的排法.法二:3个女生和5个男生排成一排有A88种排法,从中扣去两端都是女生的排法有A23·A66种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有A88-A23·A66=36000种不同的排法.(5)(顺序固定问题)因为8人排队,其中两人顺序固定,共有A88A22=20160种不同的排法.[类题通法](1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时,可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条件的排列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意要不重复,不遗漏(去尽).(2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻问题,可用“捆绑法”,即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空法”,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中.[针对训练]1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A.48B.54C.72D.84解析:选C根据题意,先将3名乘客进行全排列,有A33=6(种)排法,排好后,有4个空档,再将1个空位和余下的两个连续的空位插入4个空档中,有A24=12(种)方法,根据分类乘法计数原理,共有6×12=72(种)候车方式.选C.2.某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程,如果第一节不排体育,第六节不排数学,一共有多少种不同的排法?解:法一:(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类;①第一节课排数学,第六节课排体育,共有A44种排法;②第一节课排数学,第六节课不排体育,共有A14A44种排法;③第一节课不排数学,第六节课排体育,共有A14A44种排法;④第一节课不排数学,第六节课不排体育,共有A24A44种排法.由分类加法计数原理,所求的不同排法共有A44+2A14A44+A24A44=504(种).法二:(排除法)不考虑受限条件下的排法有A66种,其中包括数学课在第六节的排法有A55种,体育课在第一节的排法有A55种,但上面两种排法中同时含有数学课在第六节,体育课在第一节的情形有A44种.故所求的不同排法有A66-2A55+A44=504(种).考点二分配问题[典例]某龙舟队有9名队员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,2人既会划左舷又会划右舷,现要选派划左舷的3人,划右舷的3人,共6人参加比赛,则不同的选派方法有多少种?[解]选派的3名会划左舷的选手中,没有既会划左舷又会划右舷的选手时,选派方法有C33C36种选派方法;选派的3名会划左舷的选手中,有一人是既会划左舷又会划右舷的选手时,选派方法有C12C23C35种选派方法;选派的3名会划左舷的选手中,有两人是既会划左舷又会划右舷的选手时,选派方法有C13C34种选派方法.故共有C33C36+C12C23C35+C13C34=20+60+12=92种选派方法.[类题通法](1)解决简单的分配问题的一般思路是先选取,后分配.(2)如果涉及的元素有限制条件,则一般以特殊元素,特殊位置为分类标准.[针对训练]有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法?(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本.(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本.解:(1)分3步完成:第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C49种方法;第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有C35种方法;第3步,把剩下的书给丙有C22种方法.所以,共有不同的分法为C49·C35·C22=1260种.(2)分2步完成:第1步,按4本、3本、2本分成三组有C49·C35·C22种方法;第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A33种方法.所以,共有C49·C35·C22·A33=7560种.考点三排列组合的综合应用[典例]从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个?[解](1)分步完成:第一步,在4个偶数中取3个,可有C34种情况;第二步,在5个奇数中取4个,可有C45种情况;第三步,3个偶数,4个奇数进行排列,可有A77种情况,所以符合题意的七位数有C34C45A77=100800(个).(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有C34C45A55A33=14400(个).(3)上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22=5760(个).(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空,共有C34C45A44A35=28800(个).[类题通法]解决排列、组合综合问题要遵循两个原则:(1)按事情发生的过程进行分步;(2)按元素的性质进行分类.解决时通常从三个途径考虑:①以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;②以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;③先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不合要求的排列或组合数.[针对训练]1.从4男3女志愿者中选1女2男分别到A,B,C三地去执行任务,则不同的选派方法有()A.36种B.108种C.210种D.72种解析:选B从4男3女志愿者中选1女2男有C13C24=18(种)方法,分别到A,B,C地执行任务,有A33=6(种)方法,根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6=108(种).2.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲乙两人至少有一人参加.当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为________.解析:若甲乙同时参加,则可以先从剩余的5人中选出2人,先排此两人,再将甲乙两人插入其中即可,则共有C25A22A23种不同的发言顺序;若甲乙两人只有一人参加,则共有C12C35A44种不同的发言顺序,综合可得不同的发言顺序有C25A22A23+C12C35A44=600种.答案:600[课堂归纳领悟]解决排列组合问题的常用方法(1)位置分析法:以位置为主,特殊(受限)的位置优先考虑.有两个以上的约束条件时,往往是考虑一个条件的同时,也要兼顾其他条件.考虑两个条件之间是否有影响.(2)元素分析法:以元素为主,先满足特殊(受限)元素的要求,再处理其他元素.有两个以上的约束条件时,往往是考虑一个元素的同时,也要兼顾其他元素.(3)间接法:也叫排异法.直接考虑时情况较多,但其对立面情况较少,相对来讲比直接解答简捷,可先考虑逆向思考问题,在此方法中,对立面要“不重不漏”.(4)插空法:先把有限制的元素排好,然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中,要注意无限制元素的排列数及所形成空的个数.此方法适用于含有“不相邻”的问题.(5)捆绑法:把要求在一起的“小集团”看作一个整体,与其他元素进行排列,同时不要忘记“小集团”内也要排列.此法比较适合“必须在一起”的问题.

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