（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列 第一课时 排列与排列数公

第一课时排列与排列数公式知识点一排列的定义[探究发现]1．甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动，另外一名参加下午的活动．问题1：甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？提示：不是．问题2：有几种不同的排法？提示：两种．甲上午，乙下午；甲下午，乙上午．2．若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题3：让你去安排这项活动，需要几步？提示：分两步．问题4：它们是什么？提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．问题5：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因分步完成共3×2＝6种．问题6：这些排法相同吗？提示：不相同，它们是有顺序的．3．从a、b、c中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列．问题7：共有多少种不同的排列方法？提示：3×2＝6种．问题8：试写出它们的排列．提示：ab，ac，ba，bc，ca，cb.[必备知识]排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照______________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．[提醒]判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n个元素中取出m个元素后，在安排m个元素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是排列．一定的顺序知识点二排列数与排列数公式[探究发现]已知数字1,2,3,4,5,6.问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个没有重复数字的两位数？提示：有6×5＝30(个)．问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数字的三位数？提示：有6×5×4＝120(个)．问题3：从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数？提示：有6×5×4×3＝360(个)．问题4：若从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，有多少种不同的排法？提示：有n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(个)．[必备知识]排列数全排列定义从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数n个不同元素__________的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列表示法AmnAnn所有排列的全部取出个数乘积形式Amn＝n(n－1)(n－2)·…(n－m＋1)Ann＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1公式阶乘形式Amn＝________Ann＝________性质A0n＝1；0！＝1备注n，m∈N*，且m≤n[提醒]排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数．n！n－m！n！考点一排列的概念[典例]下列问题是排列问题吗？(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？[解](1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．[类题通法]判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置，看结果有无变化，若有变化，则与元素的顺序有关，是排列问题；否则，为非排列问题．[针对训练]1．更改例题的各条件如下，请重新判断是不是排列问题：(1)抽2名学生当正、副班长；(2)取两个数相除；(3)以圆上10个点为端点作有向线段；(4)10个车站间站与站的票价．解：(1)2名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题．(2)两个数有除数和被除数之分，有顺序，是排列问题．(3)有向线段有起点和终点之分，有顺序，是排列问题．(4)两车站间来回的票价一样，故与顺序无关，不是排列问题．2．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如，甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．考点二用列举法解排列问题[典例](1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[解](1)由题意作“树形图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作“树形图”，如下．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.[类题通法]“树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时．在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列．[针对训练]1．A，B，C三个同学站成一排照相留念，写出所有排列．解：由题意作树形图如图所示：故所有的排列为：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.2．A，B，C，D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A，B，C，D四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号，列出树形图如图：位置编号换位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.考点三有关排列数的计算[典例]计算：(1)2A58＋7A48A88－A59；(2)Am－1n－1·An－mn－mAn－1n－1.[解](1)2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×8＋78×7×6×5×24－9＝1.(2)原式＝n－1！[n－1－m－1]！·(n－m)！·1n－1！＝n－1！n－m！·(n－m)！·1n－1！＝1.[类题通法]应用排列数公式应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性，如：n！＝n(n－1)！；n·n！＝(n＋1)！－n！；n－1n！＝1n－1！－1n！等．[针对训练]1．已知A2n＝7A2n－4，则n的值为()A．6B．7C．8D．2解析：选B由排列数公式得：n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或103(舍去)．2．解下列方程：(1)3A3x＝2A2x＋1＋6A2x；(2)5Ax4＝6Ax－15.解：(1)由3A3x＝2A2x＋1＋6A2x，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0.解得x＝5或x＝23(舍去)，∴x＝5.(2)由5Ax4＝6Ax－15，得5×4！4－x！＝6×5！6－x！化简得x2－11x＋24＝0，解得x1＝3，x2＝8，∵x≤4，且x－1≤5，∴原方程式的解为x＝3.[课堂归纳领悟]1．排列数公式的特点(1)第一个因数是n；(2)每个因数都比它前面的因数少1；(3)最后一个因数是n－m＋1；(4)一共有m个连续的自然数相乘．2．应用排列数公式应注意的问题(1)排列数的第一个公式Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．(2)排列数的第二个公式Amn＝n！n－m！适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的运用．