（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 习题课（一） 导数及其应用课件 苏

习题课(一)(提升关键能力)导数及其应用高频考点一导数的概念及几何意义的应用(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0求解．[典例]已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．[解析]因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.[答案]1[类题通法](1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0求解．[集训冲关]1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1解析：选A因为y′＝ex＋xex＋2，所以曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝y′x＝0＝3，∴切线方程为y＝3x－1.2．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－12x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为()A.33B.333C.3D.393解析：选Dy＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－12x2⇒y′＝－x，由题意得3x20·(－x0)＝－1，解得x30＝13，即x0＝313＝393，故选D.3．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－3高频考点二导数与函数的单调性及应用函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f′(x)＞0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递减．反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增⇒f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇒f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．[典例]已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x，讨论f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＜0，则当x∈0，－12a时，f′(x)＞0；当x∈－12a，＋∞时，f′(x)＜0.故f(x)在0，－12a上单调递增，在－12a，＋∞上单调递减．[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[注意]求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．[集训冲关]1．函数f(x)＝2x2－lnx的递增区间是()A.0，12B.－12，0和12，＋∞C.12，＋∞D.－∞，－12和0，12解析：选C由题意得f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，且x0，由f′(x)0，即4x2－10，解得x12.故选C.2．已知函数f(x)＝－12x2＋2x－aex.(1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝－12x2＋2x－ex，则f(1)＝－12×12＋2×1－e＝32－e，f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－32－e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋12.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∵f(x)＝－12x2＋2x－aex，∴f′(x)＝－x＋2－aex，于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，即a≤2－xex在R上恒成立，令g(x)＝2－xex，则g′(x)＝x－3ex，令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：x(－∞，3)3(3，＋∞)g′(x)－0＋g(x)减极小值－1e3增故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min＝－1e3，所以a≤－1e3，即实数a的取值范围是－∞，－1e3.高频考点三导数与函数的极值、最值及应用1．导数与函数单调性、极值的关系(1)f′(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．[典例](2017·北京高考)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．[解](1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈0，π2时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间0，π2上单调递减．所以对任意x∈0，π2，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减．因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，最小值为fπ2＝－π2.[类题通法]求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．[集训冲关]1．函数f(x)＝1＋3x－x3()A．有极小值，无极大值B．无极小值，有极大值C．无极小值，无极大值D．有极小值，有极大值解析：选Df′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0，得x＝±1.当x∈(－1,1)时，f′(x)0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3，故选D.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递减；当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递增．∴当cosx＝12，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－32时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×－32×1＋12＝－332.答案：－3323．已知函数f(x)＝1＋lnxx(x≥1)，(1)试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若f(x)≥kx＋1恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)f′(x)＝－lnxx2，∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′(x)≤0.故函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵x≥1，∴f(x)≥kx＋1⇔x＋11＋lnxx≥k，令g(x)＝x＋11＋lnxx，∴g′(x)＝[x＋11＋lnx]′x－x＋11＋lnxx2＝x－lnxx2.再令h(x)＝x－lnx，则h′(x)＝1－1x.∵x≥1，则h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴[h(x)]min＝h(1)＝10，从而g′(x)0，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.故实数k的取值范围为(－∞，2]．高频考点四生活中的优化问题[解答思路][典例]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意知200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r＞0，又由h＞0可得r＜53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．[类题通法]利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．[集训冲关]1．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x千册(0＜x＜150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即x2，故有y＝150x×30＋x2×40，y′＝－4500x2＋20＝20x＋15x－15x2，∴当0＜x＜15时，y′＜0，当15＜x＜150时，y′＞0.故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与