（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用课件

考点一面积、体积最大问题[典例]有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？[解]设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x,0xa2.即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0xa2.实际问题归结为求V(x)在区间0，a2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．在开区间0，a2内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0，解得x1＝16a，x2＝12a(舍去)．当0xx1时，V′(x)0；当x1xa2时，V′(x)0.因此x1是极大值点，且在区间0，a2内，x1是唯一的极值点，所以x＝16a是V(x)的最大值点．即当截下的小正方形边长为16a时，容积最大．[类题通法]几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．[针对训练]1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，则底面半径为202－x2cm，其体积为V＝13πx(202－x2)＝13π(400x－x3)(0x20)，则V′＝13π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝2033，x2＝－2033(舍去)．当0x2033时，V′0；当2033x20时，V′0，所以当x＝2033时，V取得最大值．答案：20332．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为xcm，容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0x24)．故V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0x10时，V′(x)0，即V(x)为增函数；当10x24时，V′(x)0，即V(x)为减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19600(cm3)．因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.考点二成本最低(费用最省)问题[典例]如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．[解](1)污水处理池长为xm，则宽为200xm.据题意0x≤16，0200x≤16，解得252≤x≤16，y＝2x＋2·200x×400＋400x×248＋16000＝800x＋259200x＋16000252≤x≤16，(2)由(1)知y′＝800－259200x2＝0，解得x＝18，当x∈(0,18)时，函数y为减函数；当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．∵252≤x≤16，∴当x＝16时，ymin＝45000.∴当且仅当长为16m、宽为12.5m时，总造价y最低为45000元．[类题通法](1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等．[针对训练]1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料．解析：设水箱底面边长为x分米，则高为256x2分米，用料总面积S＝x2＋4·256x2·x＝x2＋256×4x，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0得x＝8，当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0，所以当x＝8时，S取得最小值，则高为4分米．答案：42.如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数y＝x＋42x2(1≤x≤9)模型，设PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元．题中所涉及长度单位均为百米．(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．解：(1)因为曲线C的方程为y＝x＋42x2(1≤x≤9)，所以设点P坐标为x，x＋42x2，直线OB的方程为x－y＝0，则点P到直线x－y＝0的距离为x－x＋42x22＝42x22＝4x2，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·4x2＝5x＋32x2(1≤x≤9)．(2)因为f(x)＝5x＋32x2，所以f′(x)＝51－64x3＝5x3－64x3，令f′(x)＝0，得x＝4，列表如下：x(1,4)4(4,9)f′(x)－0＋f(x)极小值所以当x＝4时，函数f(x)取极小值，这个极小值也是函数f(x)的最小值，且最小值为f(4)＝54＋3242＝30.考点三利润最大问题[典例]某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为P＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)[解]每月生产x吨时的利润为f(x)＝24200－15x2x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－35x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，且0＜x＜200时，f′(x)＞0；x＞200时，f′(x)＜0；故x＝200就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．[类题通法]利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．[针对训练]1．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000(30≤x≤200)，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，当30≤x115时，S′(x)0；当115x≤200时，S′(x)0，所以当x＝115时利润最大．答案：1152．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值42由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．[课堂归纳领悟]1．解决实际生活问题的基本思路2．求实际问题中的最大(小)值的主要步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．